Toán Lớp 8: Chứng minh rằng với n ∈ N thì (n ³ + 3n ² – 4n ) chia hết cho 6

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

$A=n^3 + 3n^2- 4n\\=n(n^2+3n-4)\\=n(n^2-n+4n-4)\\=n(n(n-1)+4(n-1))\\=n(n-1)(n+4)$

Với $n \in \mathbb{N}; n(n-1)$ là tích hai số nguyên liên tiếp

$\Rightarrow n(n-1) \ \vdots \ 2\\ \Rightarrow n(n-1)(n+4) \ \vdots \ 2\\ \Leftrightarrow A\ \vdots \ 2 \ \forall \ n \in \mathbb{N}(1)$

Với $n=3k(k \in \mathbb{N}), n \ \vdots \ 3$

Với $n=3k+1(k \in \mathbb{N}), n-1 \ \vdots \ 3$

Với $n=3k+2(k \in \mathbb{N}), n+4 \ \vdots \ 3$

$\Rightarrow A=n(n-1)(n+4) \ \vdots \ 3 \ \forall \ n \in \mathbb{N}(2)$

$(1)(2)$ và $2;3$ là hai số nguyên tố cùng nhau $\Rightarrow A \ \vdots \ 6.$