Toán Lớp 9: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của (O) tại A, lấy điểm M. Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại C. 1) Chứng minh

Question

Toán Lớp 9:  Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tia tiếp tuyến của (O) tại A, lấy điểm M. Đường thẳng MB cắt đường tròn (O) tại C. 1) Chứng minh tam giác ABC vuông và $MA^{2}$ =MC.MB 2) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OM tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh bốn điểm M, C, I, A cùng thuộc một đường tròn.

landinhngoc97 · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:     1/   Ta c&oacute;: OA=OB=OC=R   =>&Delta;ABC vu&ocirc;ng tại C( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)   Hay AC&perp;BM   X&eacute;t &Delta;AMB vu&ocirc;ng tại A(gt) c&oacute; AC l&agrave; đường cao ứng với cạnh huyền   &Aacute;p dụng hệ thức trong tam gi&aacute;c vu&ocirc;ng:   AM^2=MC.MB   2/   Gọi H l&agrave; trung điểm AM   Ta c&oacute;:  hat{MIA}=180^o- hat{OIA}=180^o-90^o=90^o   Hay &Delta;AMI vu&ocirc;ng tại I   =>HI=MH=HA(1)   Ta lại c&oacute;:  hat{MCA}=180^o- hat{ACB}=180^o-90^o=90^o   Hay &Delta;MAC vu&ocirc;ng tại C   =>HC=HM=HA(2)   Từ (1) v&agrave; (2)   =>HM=HC=HI=HA   =>  Bốn điểm M, C, I, A c&ugrave;ng thuộc một đường tr&ograve;n

cobexinhdep · Answer

Lời giải:    a) Ta c&oacute;:   $ widehat{ACB} = 90^ circ$ (g&oacute;c nội tiếp chắn nửa đường tr&ograve;n)   $ Rightarrow AC perp BC$   $ Rightarrow AC perp MB$   &Aacute;p dụng hệ thức lượng trong $ triangle MAB$ vu&ocirc;ng tại $A$ đường cao $AC$ ta được:   $ quad MA^2 = MC.MB$   b) Ta c&oacute;:   $ widehat{ACB} = 90^ circ  Rightarrow  widehat{ACM} = 90^ circ$   $AI perp OM  Rightarrow  widehat{AIM} = 90^ circ$   X&eacute;t tứ gi&aacute;c $MCIA$ c&oacute;:   $ widehat{ACM} =  widehat{AIM} = 90^ circ$   $ widehat{ACM}$ v&agrave; $ widehat{AIM}$ c&ugrave;ng nh&igrave;n cạnh $AM$   Do đ&oacute; $MCIA$ l&agrave; tứ gi&aacute;c nội tiếp   $ Rightarrow M,C,I,A$ c&ugrave;ng thuộc một đường tr&ograve;n