Toán Lớp 9: Tính góc A của tam giác ABC, biết rằng các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I và ADIE là tứ giác nội tiếp.

Question

Toán Lớp 9:  Tính góc A của tam giác ABC, biết rằng các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I và ADIE là tứ giác nội tiếp.

cobexinhdep · Answer

$ text{C&oacute;: ADIE l&agrave; tứ gi&aacute;c nội tiếp (gt) n&ecirc;n:}$   $ text{&rArr; $ widehat{EAD}$ + $ widehat{EID}$ = $180^o$}$   $ text{M&agrave; $ widehat{EID}$ = $ widehat{BIC}$ (2 g&oacute;c đối đỉnh)}$   $ text{&rArr; $ widehat{EAD}$ + $ widehat{BIC}$ = $180^o$ hay $ widehat{BAC}$ + $ widehat{BIC}$ = $180^o$ (1)}$   $ text{C&oacute;: BD l&agrave; đường ph&acirc;n gi&aacute;c trong &Delta;ABC (gt) n&ecirc;n:}$   $ text{&rArr; BD l&agrave; tia ph&acirc;n gi&aacute;c của $ widehat{ABC}$}$   $ text{&rArr; $ widehat{ABD}$ = $ widehat{DBC}$ = $ dfrac{ widehat{ABC}}{2}$}$   $ text{C&oacute;: CE l&agrave; đường ph&acirc;n gi&aacute;c trong &Delta;ABC (gt) n&ecirc;n:}$   $ text{&rArr; CE l&agrave; tia ph&acirc;n gi&aacute;c của $ widehat{ACB}$}$   $ text{&rArr; $ widehat{ACE}$ = $ widehat{ECB}$ = $ dfrac{ widehat{ACB}}{2}$}$   $ text{X&eacute;t &Delta;BIC, c&oacute;:}$   $ text{$ widehat{BIC}$ + $ widehat{IBC}$ + $ widehat{ICB}$ = $180^o$ (Định l&yacute; tổng 3 g&oacute;c trong 2 &Delta;)}$   $ text{$ widehat{BIC}$ = $180^o$ - ($ widehat{IBC}$ + $ widehat{ICB}$)}$   $ text{$ widehat{BIC}$ = $180^o$ - ($ dfrac{ widehat{ABC}}{2}$ + $ dfrac{ widehat{ACB}}{2}$ }$   $ text{$ widehat{BIC}$ = $180^o$ - $ dfrac{ widehat{ABC} +  widehat{ACB}}{2}$ (2)}$   $ text{X&eacute;t &Delta;ABC, c&oacute;:}$   $ text{$ widehat{BAC}$ + $ widehat{ABC}$ + $ widehat{ACB}$ = $180^o$ (Định l&yacute; tổng 3 g&oacute;c trong 1 &Delta;)}$   $ text{$ widehat{ABC}$ + $ widehat{ACB}$ = $180^o$ - $ widehat{BAC}$ (3)}$   $ text{Thế (3) v&agrave;o (2) ta được: $ widehat{BIC}$ = $180^o$ - $ dfrac{180^o -  widehat{BAC}}{2}$ (4)}$   $ text{Thế (4) v&agrave;o (1) ta được:}$   $ text{$ widehat{BAC}$ + $180^o$ - $ dfrac{180^o -  widehat{BAC}}{2}$ = $180^o$}$   $ text{&hArr; $ widehat{BAC}$ + $180^o$ - $90^o$ + $ dfrac{ widehat{BAC}}{2}$ = $180^o$}$   $ text{&hArr; $ dfrac{2 widehat{BAC} +  widehat{BAC}}{2}$ + $90^o$ = $180^o$}$   $ text{&hArr; $ dfrac{3 widehat{BAC}}{2}$ = $90^o$}$   $ text{&rArr; 3$ widehat{BAC}$ = $180^o$}$   $ text{&hArr; $ widehat{BAC}$ = $60^o$}$   $ textit{Ha1zzz}$

buithaianh98 · Answer

Giải đáp:   $ widehat{A}= 60^ circ$   Lời giải và giải thích chi tiết:   Ta c&oacute;:   $BD$ l&agrave; ph&acirc;n gi&aacute;c $ widehat{B}$   $ Rightarrow  widehat{IBC}= dfrac12 widehat{B}$   $CE$ l&agrave; ph&acirc;n gi&aacute;c $ widehat{C}$   $ Rightarrow  widehat{ICB}= dfrac12 widehat{C}$   Ta được:   $ widehat{IBC} +  widehat{ICB}= dfrac12( widehat{B} +  widehat{C})$   $ Leftrightarrow 180^ circ -  widehat{BIC}= dfrac12(180^ circ -  widehat{A})$   $ Leftrightarrow  widehat{BIC}= 90^ circ +  dfrac12 widehat{A}$   $ Leftrightarrow  widehat{DIE}= 90^ circ +  dfrac12 widehat{A}$   Ta lại c&oacute;:   $ADIE$ l&agrave; tứ gi&aacute;c nội tiếp   $ Leftrightarrow  widehat{A} +  widehat{DIE}= 180^ circ$   $ Leftrightarrow  widehat{A} + 90^ circ +  dfrac12 widehat{A}= 180^ circ$   $ Leftrightarrow  dfrac32 widehat{A}= 90^ circ$   $ Leftrightarrow  widehat{A}= 60^ circ$