Toán Lớp 9: cho x,y,z>0 và (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)<0 cmr (x+y-z)(y+z-x)(z+x-y)>= xyz

TRẢ LỜI

1. Đặt a = x+y-z, b = y+z-x , c = z+x-y

   Cần cm: abc ≤ $\frac{a+b}{2}$ . $\frac{b+c}{2}$. $\frac{c+a}{2}$

   ⇔ 8abc ≤ ( a+b )( b+c )( c+a )   (*)

   Do tổng 2 số bất kì trong 3 số a,b,c luôn dương nên có ít nhất 2 số trong 3 số a,b,c dương

   +, Nếu trg 3 số a, b, c chỉ có 2 số dương 

   ⇒ (*) lđ                                                        (1)

   +, Nếu a, b, c >0, ta có: a+b ≥ 2$\sqrt[]{ab}$ 

                                          b+c ≥ 2$\sqrt[]{bc}$        ( cosi cho 2 số dg )

                                          c+a ≥ 2$\sqrt[]{ca}$ 

   ⇒ 8abc ≤ ( a+b )( b+c )( c+a )   ( do a,b,c>0) ⇒ (*) lđ             (2)

   Từ (1), (2) ⇒đpcm

   Trả lời