Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 7: Tìm số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước dương của $p^4$ là một số chính phương. Xin cảm ơn

Tháng Hai 8, 2023 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 7: Tìm số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước dương của $p^4$ là một số chính phương.
Xin cảm ơn

Comments ( 2 )

  1. chauhoangmy98
    chauhoangmy98
    8 Tháng Hai, 2023 at 9:15 sáng
    Reply
    Giải đáp: p=3
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Do p là số nguyên tố nên các ước của p^4 là 1;p;p^2;p^3;p^4
    Ta có n^2=p^4+p^3+p^2+p+1 với n\inNN
    Do đó 4n^2=4p^4+4p^3+4p^2+4p+4
          =(2p^2+p)^2+3p^2+4p+4>(2p^2+p)^2
    Mà 3p^2+4p+4>0∀p là số nguyên tố.
            => 2n>2p^2+p(1)
    Mặt khác 4n^2=4p^4+4p^3+4p^2+4p+4
                              =(2p^2+p+1)^2-p^2+2p+3
                               (2p^2+p+1)^2-(p-1)^2+4
    +) Nếu p>3 thì -(p-1)^2+4<0
    =>4n^2<(2p^2+p+1)^2=>2n<2p^2+p+1(2)
    Từ (1) và (2)=>2p^2+p<2n<2p^2+p+1( vô lý )
    Từ đó suy ra p<=3
    Do p là số nguyên tố nên p=2 hoặc p=3
    +) Thử p=2:
    Tổng các ước nguyên dương của p^4 là:
    1+p+p^2+p^3+p^4=1+2+2^2+2^3+2^4=31\ne n^2
    => Không thỏa mãn => p\ne2
    +) Thử p=3:
    Tổng các ước nguyên dương của p^4 là:
    1+p+p^2+p^3+p^4=1+3+3^2+3^3+3^4=121=11^2=n^2
    => Thỏa mãn => p=3
    Vậy p=3 thì thỏa mãn

  2. kymmailien
    kymmailien
    8 Tháng Hai, 2023 at 9:14 sáng
    Reply
    Để $\sqrt[]{1+p+{p^2}+{p^3}+{p^4}}$ là số hữu tỉ thì 1+p+p²+p³+$p^{4}$ phải là bình phương của một số hữu tỉ mà p nguyên tố nên 1+p+p²+p³+$p^{4}$ phải là số chính phương
    Đặt 1+p+p²+p³+$p^{4}$=t²( với t ∈ Z)
    Ta có: 4t²= ( 2p²+p)²+3p²+4p+4
                  ⇒ ( 2p²+p)²+4( 2p²+p)²+4>4t²>( 2p²+p)²
                  ⇔ ( 2p²+p+2)²>4t²>( 2p²+p)²
                  ⇒ 4t²=( 2p²+p+1)²                                                    
                  ⇒ ( 2p²+p)²+3p²+4p+4=( 2p²+p)²+4p²+2p+1
                  ⇔p² -2p -3=0  ⇒(p+1)(p-3=0
                  ⇒p=3(vì p là số nguyên tố)                                                       
                                                                       
                                                                   

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Linh

About Linh