Toán Lớp 7: Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB. Kẻ AK ⊥ BC. Trên tia KC lấy điểm E sao cho KE = KB. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với tia AE t

TRẢ LỜI

1. Lời giải:

   a) Xét $\triangle AKB$ và $\triangle AKE$ có:

   $\begin{cases}\widehat{AKB} = \widehat{AKE} = 90^\circ\\AK:\ \text{cạnh chung}\\KB = KE\quad (gt)\end{cases}$

   Do đó $\triangle AKB = \triangle AKE \ (c.g.c)$

   b) Xét $\triangle AKB$ vuông tại $K$ có:

   $\widehat{BAK} + \widehat{ABK} = 90^\circ$

   hay $\widehat{BAK} + \widehat{ABC} = 90^\circ$

   Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có:

   $\widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^\circ$

   Do đó: $\widehat{BAK} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

   c) Xét $\triangle CDE$ vuông tại $D$ có:

   $\widehat{DCE} + \widehat{DEC} = 90^\circ$

   mà $\widehat{DEC} = \widehat{KEA}$ (đối đỉnh)

   nên $\widehat{DCE} + \widehat{KEA} = 90^\circ$

   Ta lại có: $\widehat{KEA} + \widehat{KAE} = 90^\circ\ \ (\triangle KAE$ vuông tại $K$)

   $\Rightarrow \widehat{DCE} = \widehat{KAE}$

   Mặt khác: $\triangle AKB = \triangle AKE$ (câu a)

   $\Rightarrow \widehat{BAK} = \widehat{EAK}$ (hai góc tương ứng)

   Do đó: $\widehat{DCE} = \widehat{BAK}$

   mà $\widehat{BAK} = \widehat{ACB}$ (câu b)

   nên $\widehat{DCE} = \widehat{ACB}$

   $\Rightarrow CB$ là tia phân giác của $\widehat{ACD}$

   d) Xét $\triangle ACH$ có:

   $AD$ là đường cao ứng với cạnh $CH\quad (AD\perp CD)$

   $CK$ là đường cao ứng với cạnh $AH\quad (AK\perp BC)$

   $AD$ cắt $CK$ tại $E$

   $\Rightarrow E$ là trực tâm $\triangle ACH$

   $\Rightarrow HE$ là đường cao ứng với cạnh $AC$

   $\Rightarrow HE\perp AC$

   Ta lại có: $AB\perp AC\quad (gt)$

   Do đó: $HE//AB$

    

   

   Trả lời
2. Giải đáp:

   $\\$

   GT :

   ΔABC vuông tại A, AC > AB

   AK⊥BC (K ∈ BC)

   E ∈ KC, KE = KB

   CD⊥AD (D ∈ AE)

   H là giao của AK và CD

   KL :

   a, ΔAKB = ΔAKE

   b, hat{BAK} = hat{ACB}

   c, CB là tia phân giác của hat{ACD}

   $d, HE//AB$

   $\\$

   Bài làm.

   a,

   Do AK⊥BC (giả thiết)

   -> hat{AKB} = hat{AKE} = 90^o

   Xét ΔAKB và ΔAKE có :

   \(\left\{ \begin{array}{l}\text{AK chung}\\ \text{KB=KE (giả thiết)}\\ \widehat{AKB}=\widehat{AKE}=90^o \text{(chứng minh trên)}\end{array} \right.\)

   -> ΔAKB = ΔAKE (cạnh – góc – cạnh)

   $\\$

   b,

   Do ΔABC vuông tại A (giả thiết)

   -> hat{B} + hat{ACB} = 90^o

   Có : AK⊥BC (giả thiết)

   -> ΔAKB vuông tại K

   -> hat{BAK} + hat{B}=90^o

   Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{B}+\widehat{ACB}=90^o\\ \widehat{BAK}+\widehat{B}=90^o\end{array} \right.\) (chứng minh trên)

   Suy ra : hat{ACB} = hat{BAK}

   $\\$

   c,

   Do ΔAKB = ΔAKE (chứng minh trên)

   -> hat{ABK} = hat{AEK} (2 góc tương ứng)

   hay hat{ABC} = hat{AEB}

   Do ΔABC vuông tại A (giả thiết)

   -> hat{ACB} + hat{ABC} = 90^o

   Có : CD⊥AD (giả thiết)

   -> ΔCDE vuông tại D

   -> hat{DCE} + hat{DEC} = 90^o

   mà hat{DEC} = hat{AEB} (2 góc đối đỉnh)

   -> hat{DCE} + hat{AEB}= 90^o

   Lại có : hat{ABC} = hat{AEB} (chứng minh trên)

   -> hat{DCE} + hat{ABC} = 90^o

   Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\\ \widehat{DCE}+\widehat{ABC}=90^o\end{array} \right.\) (chứng minh trên)

   Suy ra : hat{DCE} = hat{ACB}

   hay CD là tia phân giác của hat{ACD}

   $\\$

   d,

   Có : CD⊥AD (giả thiết)

   hay AD⊥HC

   -> AD là đường cao của ΔAHC

   Có : CK⊥AK (giả thiết)

   hay CK⊥AH

   -> CK là đường cao của ΔAHC

   Xét ΔAHC có :

   CK là đường cao

   AD là đường cao

   CK cắt AD tại E

   -> E là trực tâm của ΔAHC

   -> HE là đường cao của ΔAHC

   -> HE⊥AC

   Do ΔABC vuông tại A (giả thiết)

   -> AB⊥AC

   Có : \(\left\{ \begin{array}{l}HE⊥AC\\AB⊥AC\end{array} \right.\) (chứng minh trên)

   Suy ra : $HE//AB$ (Quan hệ từ vuông góc đến song song)

    

   

   Trả lời