Toán Lớp 8: bài này rất dể Câu 2. a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2

Question

Toán Lớp 8:  bài này rất dể  Câu 2. a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

hoaiphuong85 · Answer

$ $ a, giả sử (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)(1) <=>(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 = a^2c^2 +a^2d^2 + b^2c^2+b^2d^2 <=>(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2c^2 +2acbd + b^2d^2) + (a^2d^2-2adbc + b^2c^2) <=>(ac+bd)^2 +(ad-bc)^2=(ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 (Luôn đúng) Thật vậy (1) được chứng minh. b, giả sử (ac+bd)^2 le (a^2+b^2)(c^2+d^2)(1) <=> (ac+bd)^2 le a^2c^2 +a^2d^2 + b^2c^2+b^2d^2 <=>(ac+bd)^2 le (a^2c^2 +2acbd + b^2d^2) + (a^2d^2-2adbc + b^2c^2) <=>(ac+bd)^2 le (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 <=> (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 - (ac+bd)^2 ge 0 <=> (ad-bc)^2 ge 0 (Luôn đúng) Thật vậy (1) được chứng minh Dấu '=' xảy ra khi : (ad-bc)^2=0 <=>ad-bc=0 <=>ad=bc <=>a/b=c/d

truonganhthi · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết: a) Xét VT=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2 =(ac)^2+2acbd+(bd)^2+(ad)^2-2adbc+(bc)^2 =a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2 =a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2 =(a^2c^2+a^2d^2)+(b^2d^2+b^2c^2) =a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2) =(a^2+b^2)(c^2+d^2) =VP Vậy (ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2) (đpcm) b) (ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2) <=> (ac)^2+2acbd+(bd)^2 <= a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2) <=> a^2c^2+2abcd+b^2d^2 <=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2 <=> 2abcd <= a^2d^2+b^2c^2 <=> a^2d^2-2abcd+b^2c^2 >=0 <=> (ad)^2-2adbc+(bc)^2 >=0 <=> (ad-bc)^2 >=0 (luôn đúng) Vậy (ac+bd)^2<=(a^2+b^2)(c^2+d^2) (đpcm)