Toán Lớp 8: Tìm ba số nguyên tố liên tiếp q,p,r sao cho p ² + q ² + r ² cũng là số nguyên tố ( Vote 5 sao + ctlhn + cảm ơn )

Question

Toán Lớp 8:  Tìm ba số nguyên tố liên tiếp q,p,r sao cho p ² + q ² + r ² cũng là số nguyên tố ( Vote 5 sao + ctlhn + cảm ơn )

buianhtuan · Answer

#laviken#   Giả sử : p < q < r    Do p ; q ; r l&agrave; c&aacute;c số nguy&ecirc;n tố n&ecirc;n p^2+ q^2 + r^2 > 3    Nếu p ; q ; r $ not vdots$ 3      &rArr; p^2 ; q^2 ; r^2 chia 3 dư 1 hoặc 2     Nếu p^2+ q^2 + r^2 $ not vdots$ 3   &rArr; p^2 + q^2 + r^2 l&agrave; hợp số    &rArr; tr&aacute;i với giả thiết ( loại )    &rArr; p $ not vdots$ 3    M&agrave; p l&agrave; số nguy&ecirc;n tố &rArr; p = 3                                         &rArr; q = 5                                        &rArr; r = 7    Ta c&oacute; : 3^2 + 5^2 + 7^2 = 83 ( l&agrave; số nguy&ecirc;n tố ) ( thỏa m&atilde;n )   Vậy 3 số p ; q ; r cần t&igrave;m l&agrave; 3 ; 5 ; 7

quynhthanhnghi · Answer

Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết: Nhận thấy vai trò của p,q,r là như nhau nên KMTTQ, giả sử: p < q < r Nếu p = 2, ta tìm được 3 số là: 2;3;5 (ktm) Nếu p = 3,ta tìm được 3 số là: 3;5;7 (tm) Nếu p > 3 Bổ đề: Mọi số nguyên tố > 3 bình phương lên thì luôn chia 3 dư 1 thật vậy các số nguyên tố lớn hơn 3 nên có dạng: 3k + 1 hoặc 3k + 2 (k ∈ $Z^{+}$) Nếu có dạng 3k + 1,ta có: (3k + 1) 2 = 9k 2 + 6k + 1 ≡ 1 (mod 3) Nếu có dạng 3k + 2 ,ta có:(3k + 2) 2 = 9k 2 + 12k + 4 ≡ 1 (mod 3) Vậy nếu p > 3 thì các số q,r > 3 nên khi bình phương lên thì chắc chắn đều dư 1 =>p 2 + q 2 + $r^{2}$ ≡ 0 (mod 3) Vậy ta có (p,q,r) = (3,5,7) và các hoán vị của nó