Toán Lớp 9: x,y,z>0 ; xyz>1 cmr (x+y)(y+z)(z+x) ≥(x+1)(y+1)(z+1)

0 bình luận về “Toán Lớp 9: x,y,z>0 ; xyz>1 cmr (x+y)(y+z)(z+x) ≥(x+1)(y+1)(z+1)”

1. Giải đáp + giải thích các bước giải:

   Đổi biến p;q;r->r=1.  Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

   p>=3\root{3}{r}=3

   q>=3\root{3}{r^2}=3

   Điều cần chứng minh trở thành:

   pq-r>=r+p+q+1

   ->pq-p-q>=2r+1=3

   ->pq-p-q+1>=4

   ->p(q-1)-(q-1)>=4

   ->(p-1)(q-1)>=4 (luôn đúng với p>=3 và q>=3)

   ->đpcm

   Dấu bằng xảy ra khi x=y=z

   Trả lời
2. Đpcm⇔ (x+y)(y+z)(z+x)≥(x+1)(y+1)(z+1)

   ⇔(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz≥xyz+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1

   ⇔(x+y+z)(xy+yz+zx)-1≥1+(xy+yz+zx)+(x+y+z)+1

   ⇔(x+y+z)(xy+yz+zx)-3≥(xy+yz+zx)+(x+y+z)

   Đặt a=xy+yz+zx≥3.$\sqrt[3]{(xyz)²}$ =3

          b=x+y+z≥3.$\sqrt[3]{xyz}$ =3

   ĐPcm ab-3≥(a+b)

   ⇔ab-a-b≥3

   ⇔(a-1)(b-1)≥4

   vì a≥3 nên a-1≥2

   Tương tự b-1≥2

   Suy ra (a-1)(b-1)≥4 (dpcm)

    

   Trả lời