Toán Lớp 9: Tìm cặp số nguyên tố (p,q) thỏa mãn p+q và p+4q là số chính phương.

TRẢ LỜI

1. Đặt $p+q=m^2(m>0)$ và $p+4q=n^2(n> 0)$ và $m<n$

   $3q = \left( {m – n} \right)\left( {m + n} \right)$

   Vì q là số nguyên tố nên $3q$ chỉ có thể phân tích thành thừa số nguyên tố là $(1,3q)$ và $(3;q)$
   Ta chia hai trường hợp:

   Nếu $\begin{array}{l} n – m = 1,n + m = 3q\\  \Rightarrow n = m + 1,3q = m + n = 2m + 1\\  + p = {m^2} – q = {m^2} – \dfrac{{2m + 1}}{3} = \dfrac{{3{m^2} – 2m – 1}}{3} = \dfrac{{\left( {3m + 1} \right)\left( {m – 1} \right)}}{3}\\ \end{array}$  

   Vì $3m+1\not\vdots 3$ nên $ \Rightarrow m – 1 \vdots 3$. Vì $p$ là số nguyên tố nên $m-1=3\Rightarrow p=13$ và $3q=9\Rightarrow q=3$

   Thử lại ta được $p+q=16$ và $p+4q=25$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

   Nếu $\begin{array}{l} n – m = 3,q = n + m\\  \Rightarrow q = n + m = 2m + 3\\  \Rightarrow p = {m^2} – q = {m^2} – 2m + 3 = \left( {m + 1} \right)\left( {m – 3} \right) \end{array}$

   Vì $p$ là số nguyên tố nên $m-3=1\Rightarrow m=4$ do $m+1$ không thể bằng 1.

   Vì $m=4$ nên $p=5$, $q=2m+3=11$

   Thử lại $p+q=5+11=16$, $p+4q=5+4.11=49$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

   Vậy $(p;q)=(13;3),(5;49)$

   Trả lời