Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: `\text{Ko dùng tứ giác nội tiếp và góc nội tiếp, giải thích đc hướng vẽ đường phụ thì tốt!}` Cho `P\in (O)` cố định, tiếp tuyến `PA`, c

Tháng Hai 13, 2023 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 9: \text{Ko dùng tứ giác nội tiếp và góc nội tiếp, giải thích đc hướng vẽ đường phụ thì tốt!}
Cho P\in (O) cố định, tiếp tuyến PA, cát tuyến PBC bất kì. Tìm quỹ tích trực tâm H \Delta ABC

Comments ( 1 )

  1. dinhcongson
    dinhcongson
    13 Tháng Hai, 2023 at 6:33 chiều
    Reply
    Giải đáp:
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Vì từ $P$ kẻ được $2$ tiếp tuyến với $(O)$
    Giả sử $PA$ là tiếp tuyến thứ nhất $⇒ A$ cố định
    Qua $P$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $OA$
    Trên đường thẳng $d$ lấy điểm $K$ sao cho $PK=OA$ ($K, O$ khác phía đối với $PA$)
    Gọi $O’$ đối xứng với $O$ qua $BC$
    Ta có: $\begin{cases}OA = PK\\OA // PK\end{cases}$
    $⇒ OPKA$ là hình bình hành
    $⇒ KA=OP$ $(1)$
    Mặt khác: $HA // OO’$ (cùng vuông góc $BC$)
    Ta có bổ đề: $HA=OO’$
    $⇒ OAHO’$ là hình bình hành
    $⇒ \begin{cases}OA // O’H\\ OA=O’H\end{cases}$
    Mà $\begin{cases}PK // OA\\PK=OA\end{cases}$
    nên $\begin{cases}PK // O’H\\PK=O’H\end{cases}$
    $⇒ PKHO’$ là hình bình hành
    $⇒ KH= PO’$
    Mà $O, O’$ đối xứng qua $BC$
    nên $PO’=PO$
    $⇒ KH=PO$ $(2)$
    Từ $(1), (2)$ suy ra: $KA=KH$
    $⇒ H$ thuộc đường tròn $(K; KA)$
    Vì $P$ và đường tròn $(O)$ cố định nên $d$ cố định
    $PK$ không đổi và nằm khác phía với $O$ đối với $AP$
    $⇒ K$ cố định
    Ngoài ra, $KA=OP$ không đổi
    $⇒ (K; KA)$ cố định
    Vậy quỹ tích điểm $H$ là đường tròn $(K; KA)$
    Giới hạn quỹ tích:
    Gọi $A’$ là điểm đối xứng của $A$ qua $OP$
    Gọi $H_{1}$ là giao điểm của $OA$ với $(K; KA)$
    Gọi $H_{2}$ là giao điểm của đường thẳng qua $A’$ và vuông góc với $AA’$ với $(K; KA)$
    Vì $B$ nằm giữa $P$ và $C$ nên $B$ di chuyển từ $A$ đến $A’$
    – Khi $B$ tiến lại gần $A$ thì $C$ tiến lại gần $A$ và $H$ tiến lại gần $H_{1}$
    – Khi $B$ tiến lại gần $A’$ thì $C$ tiến lại gần $A’$ và $H$ tiến lại gần $H_{2}$
    Vì $PBC$ là cát tuyến nên $B \neq C$
    Như vậy, giới hạn quỹ tích điểm $H$ là cung $H_{1}H_{2}$ của $(K; KA)$ và $H \neq H_{1}$ và $H_{2}$
    Làm tương tự với $PA$ là tiếp tuyến thứ $2$
    Bổ đề sử dụng trong bài:
    $ΔABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có $H$ là trực tâm
    và $O’$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$
    $⇒ AH=OO’$

    toan-lop-9-tet-ko-dung-tu-giac-noi-tiep-va-goc-noi-tiep-giai-thich-dc-huong-ve-duong-phu-thi-tot

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Tuyết

About Tuyết