Toán Lớp 9: Cho ba số a,b,c thỏa mãn: a^2+b^2+c^2<=18.Tìm giá trị nhỏ nhất của bt:A=3ab+bc+ca

TRẢ LỜI

1. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

    Ta có: (a+b+c)^2>=0, ∀a, b, c

     =>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac>=0

    =>a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)>=0

    =>2(ab+bc+ac)>=-(a^2+b^2+c^2)

    =>ab+bc+ac>=(-(a^2+b^2+c^2))/2       (1)

   Lại có: a^2+b^2+c^2<=18

         =>-(a^2+b^2+c^2)>=-18    (2)

    Từ (1) và (2)

    =>ab+bc+ac>=(-18)/2=-9    (a)

    Mặt khác:

    (a+b)^2>=0, ∀a, b

   =>a^2+2ab+b^2>=0

   =>2ab>=(-a^2+b^2)         (3)

    Lại có: 

      c^2>=0, ∀c

   =>-a^2-b^2+a^2+b^2+c^2>=0

   =>-a^2-b^2>=-a^2-b^2-c^2

   =>-(a^2+b^2)>=-(a^2+b^2+c^2)

   Mà -(a^2+b^2+c^2)>=-18

   Suy ra: -(a^2+b^2)>=-18      (4)

    Từ (3) và (4)

    =>2ab>=-18       (b)

   Cộng (a) với (b) vế theo vế ta được:

    ab+bc+ac+2ab>=-9+(-18)

   =>3ab+bc+ac>=-27

   hay A>=-27

    Dấu “=” xảy ra khi:

       $\begin{cases} a^2+b^2+c^2=18\\(a+b+c)^2=0\\(a+b)^2=0\\c^2=0 \end{cases}$

    <=>$\begin{cases} a^2+b^2+c^2=18\\a+b+c=0\\a+b=0\\c=0 \end{cases}$

   <=>$\begin{cases} a^2+b^2+0=18\\a=-b\\c=0 \end{cases}$

   <=>$\begin{cases} (-b)^2+b^2=18\\a=-b\\c=0 \end{cases}$

   <=>$\begin{cases} b^2+b^2=18\\a=-b\\c=0 \end{cases}$

   <=>$\begin{cases} 2b^2=18\\a=-b\\c=0 \end{cases}$

   <=>$\begin{cases} b^2=9\\a=-b\\c=0 \end{cases}$

   <=>$\begin{cases} b=\pm3\\a=-b\\c=0 \end{cases}$

    Với b=3=>a=-3

          b=-3=>a=3

   Vậy GTNNN của A là -27 khi a=3; b=-3; c=0 hoặc a=-3; b=3; c=0

   Trả lời