Toán Lớp 9: 1. Cho a, b là hai số thực. Chứng minh rằng: (a ³+ab ²-a ²b-b ³)/(a-b) > b ² 2. Cho hai số thực x ≥ y. Chứng minh rằng: x ³-y ³

TRẢ LỜI

1. Lời giải và giải thích chi tiết:

   1.Ta có:

   $A=\dfrac{a^3+ab^2-a^2b-b^3}{a-b}$

   $\to  A=\dfrac{a(a^2+b^2)-b(a^2+b^2)}{a-b}$

   $\to  A=\dfrac{(a-b)(a^2+b^2)}{a-b}$

   $\to A\ge a^2+b^2\ge 0+b^2=b^2$

   $\to \dfrac{a^3+ab^2-a^2b-b^3}{a-b}\ge b^2$

   Dấu = xảy ra khi $a=0$

   2.Ta có: 

   $x^3-y^3\ge\dfrac14(x-y)^3$

   $\leftrightarrow 4(x^3-y^3)\ge (x-y)^3$

   $\leftrightarrow 4(x^3-y^3)- (x-y)^3\ge 0$

   $\leftrightarrow 4(x-y)(x^2+xy+y^2)- (x-y)^3\ge 0$

   $\leftrightarrow (x-y)(4x^2+4xy+4y^2)- (x-y)^3\ge 0$

   $\leftrightarrow (x-y)(4x^2+4xy+4y^2-(x-y)^2)\ge 0$

   $\leftrightarrow (x-y)(3x^2+6xy+3y^2)\ge 0$

   $\leftrightarrow (x-y)\cdot 3(x^2+2xy+y^2)\ge 0$

   $\leftrightarrow (x-y)\cdot 3(x+y)^2\ge 0$

   Ta có $x\ge y\to x-y\ge 0$

            $(x+y)^2\ge 0$

   $\to (x-y)\cdot 3(x+y)^2\ge 0$ luôn đúng

   $\to đpcm$

   Trả lời