Toán Lớp 8: tìm x,y dương thỏa mãn: x^2+y^2+ $\dfrac{1}{x^2}$ +$\dfrac{1}{y^2}$ =4
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: tìm x,y dương thỏa mãn: x^2+y^2+ $\dfrac{1}{x^2}$ +$\dfrac{1}{y^2}$ =4
Comments ( 2 )
x^2+y^2+1/x^2+1/y^2=4
-> (x^2- 2 +1/x^2) + (y^2-2+1/y^2)=0
->(x^2- 2 . x . 1/x +1/x^2) + (y^2 – 2 . y . 1/y +1/y^2)=0
->(x-1/x)^2 + (y-1/y)^2=0
Do (x-1/x)^2>=0,(y-1/y)^2>=0
-> (x-1/x)^2+(y-1/y)^2>=0
Dấu “=” xảy ra khi :
x=1/x, y=1/y
<=>x^2=1,y^2=1
<=>x=y=1 (Do x,y>0)
Vậy x=y=1
Giải đáp + Lời giải và giải thích chi tiết:
x^2 + y^2 + 1/x^2 + 1/y^2 = 4
<=> x^2 + 1/x^2 + y^2 + 1/y^2 = 4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có :
x^2 + 1/x^2 >= 2 sqrt { x^2 . 1/x^2 }
<=> x^2 + 1/x^2 >= 2 sqrt { 1 }
<=> x^2 + 1/x^2 >= 2
y^2 + 1/y^2 >= 2 sqrt { y^2 . 1/y^2 }
<=> y^2 + 1/y^2 >= 2 sqrt { 1 }
<=> y^2 + 1/y^2 >= 2
=> x^2 + 1/x^2 + y^2 + 1/y^2 >= 2 + 2
<=> x^2 + y^2 + 1/x^2 + 1/y^2 >= 4
mà x^2 + y^2 + 1/x^2 + 1/y^2 = 4
=> {(x^2=1/x^2),(y^2=1/y^2):}
<=> {(x^4=1),(y^4=1):}
<=> x = y = 1 \text{Vì x , y > 0}