Toán Lớp 8: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AC, BC. Vẽ EF vuông góc với AB tại F `a)` Chứng minh r

TRẢ LỜI

1. Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết:

   a) Chứng minh rằng: DE // AB và tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

   Xét \triangleABC có:

   D,E lần lượt là trung điểm của AC,BC

   =>DE là đường trung bình của \triangleABC

   =>DE////AB (tính chất đường trung bình trong tam giác)

   Mà AB\botAC (\triangleABC vuông tại A) nên:

   =>DE\botAC (từ vuông góc đến song song)

   =>\hat{ADE}=90^0

   EF\botAB $\text{(gt)}$ nên:

   =>\hat{AFE}=90^0

   Xét tứ giác ADEF có:

   \hat{BAC}=\hat{AFE}=\hat{ADE}=90^0 (cmt)

   =>ADEF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

   Vậy DE////AB và ADEF là hình chữ nhật (đpcm)

   b) Chứng minh tứ giác AECK là hình thoi.

   DK=DE $\text{(gt)}$ nên:

   =>D là trung điểm của EK

   Xét tứ giác AECK có:

   D là trung điểm của EK (cmt)

   D là trung điểm của AC $\text{(gt)}$

   AC,EK cắt nhau tại D

   =>AECK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) (1)

   \triangleABC vuông tại A có AE là trung tuyến:

   =>AE=CE=(BC)/2 (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông) (2)

   Từ (1) và (2) ta suy được: AECK là hình thoi 

   Vậy AECK là hình thoi (đpcm)

   c) Chứng minh rằng O là trung điểm của AE và ba điểm B,O,K thằng hàng.

   ADEF là hình chữ nhật (câu a) nên:

   =>O là trung điểm của AE,DF (tính chất hình chữ nhật)

   AECK là hình thoi (cmt) nên:

   =>AK=CE và AK////CE (tính chất hình thoi)

   Mà CE=BE (E là trung điểm của BC)

   =>AK=BE và AK////BE

   =>ABEK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

   =>O là trung điểm của BK (tính chất hình bình hành)

   =>O\inBK

   =>Ba điểm B,O,K thẳng hàng

   Vậy O là trung điểm của AE và ba điểm B,O,K thẳng hàng (đpcm)

   d)  Tính số đo góc DMF.

   \triangleAME vuông tại M có MO là trung tuyến:

   =>MO=OE=OA=(AE)/2 (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)

   Mà AE=DF (ADEF là hình chữ nhật) nên:

   =>MO=OD=OF=(DF)/2

   \triangleDMF có MO là trung tuyến mà MO=OD=OF=(DF)/2 (cmt) nên:

   =>\triangleDMF vuông tại M

   =>\hat{DMF}=90^0

   Vậy \hat{DMF}=90^0

   

   Trả lời