Toán Lớp 8: Bài `1:` Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD,

Question

Toán Lớp 8:  Bài 1: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao? b) Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì tứ giác ABCD cần có điều kiện gì? c) Cho AC = 6 cm, BD = 8 cm. Hãy tính diện tích tứ giác MNPQ.

cobebongdem · Answer

Lời giải:    a) X&eacute;t $ triangle ABC$ c&oacute;:   $AM = MB =  dfrac12AB$   $BN = NC = dfrac12BC$   $ Rightarrow MN$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh   $ Rightarrow  begin{cases}MN//AC  MN=  dfrac12AC end{cases} quad (1)$   X&eacute;t $ triangle ACD$ c&oacute;:   $AQ = QD =  dfrac12AD$   $CP = PD = dfrac12CD$   $ Rightarrow PQ$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh   $ Rightarrow  begin{cases}PQ//AC  PQ= dfrac12AC end{cases} quad (2)$   Từ $(1)(2) Rightarrow MNPQ$ l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh $(3)$   X&eacute;t $ triangle BCD$ c&oacute;:   $BN = NC =  dfrac12BC$   $CP = PD =  dfrac12CD$   $ Rightarrow NP$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh   $ Rightarrow  begin{cases}NP//BD  NP =  dfrac12BD end{cases}$   m&agrave; $ begin{cases}MN//AC  AC perp BD end{cases}$   n&ecirc;n $MN perp NP qquad (4)$   Từ $(3)(4) Rightarrow MNPQ$ l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật   b) $MNPQ$ l&agrave; h&igrave;nh vu&ocirc;ng   $ Leftrightarrow MN = NP$   $ Leftrightarrow  dfrac12AC =  dfrac12BD$   $ Leftrightarrow AC = BD$   Vậy hai đường ch&eacute;o $AC$ v&agrave; $BD$ vu&ocirc;ng g&oacute;c v&agrave; bằng nhau th&igrave; $MNPQ$ l&agrave; h&igrave;nh vu&ocirc;ng   c) Ta c&oacute;:   $ begin{cases}AC = 6  cm  BD = 8  cm end{cases} Rightarrow  begin{cases}MN =  dfrac12AC = 3  cm  NP =  dfrac12BC = 4  cm end{cases}$   Diện t&iacute;ch h&igrave;nh chữ nhật $MNPQ$:   $S_{MNPQ} = MN.NP = 3.4 = 12  cm^2$

hoaiphuong85 · Answer

Giải đáp:       Lời giải và giải thích chi tiết:    a)    Theo đề ta c&oacute;:   M,N,P,Q lần lượt l&agrave; trung điểm c&aacute;c cạnh AB, BC, CD, DA    -  MN  l&agrave; đường trung b&igrave;nh trong  &Delta;ABC  n&ecirc;n:           + MN//AC           + MN=1/2 AC      - PQ l&agrave; đường trung b&igrave;nh trong &Delta;ACD n&ecirc;n:           + PQ//AC           + PQ=1/2 AC       -  Tứ gi&aacute;c MNPQ c&oacute;:            + PQ//MN           + PQ=MN     &rArr; Tứ gi&aacute;c MNPQ l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh       M&agrave;: MQ l&agrave; đường trung b&igrave;nh trong &Delta;BAD n&ecirc;n:           + MQ//BD           + MQ=1/2 BD       &rArr; AC&perp;BD &rArr; MN&perp;MQ       &rArr;  MNPQ l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật     b) MNPQ l&agrave; h&igrave;nh vu&ocirc;ng khi v&agrave; chỉ khi MQ=MN&rArr;AC=BD     c) MN=1/2 BD = 1/2 &times; 8 =4(cm)         NP=1/2 AC= 1/2 &times; 6 = 3(cm)         &rArr; S_(MNPQ) = 4&times;3=12(cm^2)