Toán Lớp 7: Cho tam giác ABC cân tại B có đường cao BH (H thuộc AC). a) Chứng minh H là trung điểm của AC. b) Từ H kẻ HE ⊥ AB (E∈ AB); HF ⊥ BC (F∈B

0 bình luận về “Toán Lớp 7: Cho tam giác ABC cân tại B có đường cao BH (H thuộc AC). a) Chứng minh H là trung điểm của AC. b) Từ H kẻ HE ⊥ AB (E∈ AB); HF ⊥ BC (F∈B”

1. Giải đáp:

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   a/ $ΔABC$ cân tại $B$ có $BH$ là đường cao

   $⇒ BH$ cũng là đường trung tuyến $ΔABC$

   $⇒ H$ là trung điểm $AC$

   b/ $ΔABC$ cân tại $B$ có $BH$ là đường cao

   $⇒ BH$ là tia phân giác $\widehat{EBF}$

   Hay $\widehat{EBH}=\widehat{FBH}$

   Xét $ΔEBH$ và $ΔFBH$

   Có: $\widehat{BEH}=\widehat{BFH}$ $(=90^0)$

   $BH$ chung

   $\widehat{EBH}=\widehat{FBH}$ (chứng minh trên)

   $⇒ ΔEBH = ΔFBH$ (cạnh huyền-góc nhọn)

   $⇒ EB=FB$

   $⇒ ΔEBF$ cân tại $B$

   c/ Xét $ΔHAM$ và $ΔHCF$

   Có: $\widehat{HMA}=\widehat{HFC}$ $(=90^0)$

   $\widehat{AHM}=\widehat{FHC}$ (đối đỉnh)

   $AH=HC$ (câu $a$)

   $⇒ ΔHAM = ΔHCF$ (cạnh huyền-góc nhọn)

   $⇒ AM=FC$ và $\widehat{HAM}=\widehat{HCF}$

   Mà $FC=AE$ và $\widehat{HCF}=\widehat{HAE}$

   nên $AM=AE$ và $\widehat{HAM}=\widehat{HAE}$

   $⇒ ΔAME$ cân tại $A$ có $AH$ là tia phân giác $\widehat{MAE}$

   $⇒ AH$ là đường trung trực đoạn $EM$

   d/ $ΔEMF$ có $EH$ và $FP$ là các đường trung tuyến cắt nhau tại $K$

   $⇒ MK$ đi qua trung điểm đoạn $EF$ $(1)$

   Từ câu $b$: $ΔEBH = ΔFBH$

   $⇒ EB=FB$ và $HE=HF$

   $⇒ BH$ là đường trung trực đoạn $EF$

   $⇒ BH$ đi qua trung điểm đoạn $EF$ $(2)$

   Từ $(1), (2)$ suy ra: $MK, BH, EF$ đồng quy

   

   Trả lời
2. Giải đáp:

   $\\$

   a,

   Do ΔABC cân tại B (gt)

   BH là đường cao (gt)

   -> BH là đường trung tuyến

   -> H là trung điểm của AC

   $\\$

   b,

   Do ΔABC cân tại B

   -> AB=BC và hat{EAH}=hat{FCH}

   Xét ΔAEH và ΔCFH có :

   hat{AEH}=hat{CFH}=90^o ( HE⊥AB, HF⊥BC)

   AH=CH (Do H là trung điểm của AC)

   hat{EAH}=hat{FCH} (cmt)

   -> ΔAEH  = ΔCFH (cạnh huyền – góc nhọn)

   -> AE=CF (2 cạnh tương ứng)

   Có : BE = AB – AE, BF = BC -CF

   mà AB=BC (cmt), AE=CF (cmt)

   -> BE=BF

   -> ΔBEF cân tại B

   $\\$

   c,

   Do ΔAEH = ΔCFH (cmt)

   -> HE=HF (2 cạnh tương ứng)

   mà MH =HF (Do H là trung điểm của MF)

   -> HE = MH (=HF)

   -> H nằm trên đường trung trực của ME (1)

   Xét ΔAHM và ΔCHF có :

   hat{AHM}=hat{CHF} (2 góc đối đỉnh)

   AH=CH (Do H là trung điểm của AC)

   MH=HF (Do H là trung điểm của MF)

   -> ΔAHM = ΔCHF (cạnh – góc – cạnh)

   -> AM = CF (2 cạnh tương ứng)

   mà AE=CF (cmt)

   -> AM=AE (=CF)

   -> A nằm trên đường trung trực của ME (2)

   Từ (1), (2)

   -> AH là đường trung trực của ME

   hay AC là đường trung trực của ME

   $\\$
   d,

   Gọi O là giao của EF và BH (3)

   Do AC là đường trung trực của ME (cmt)

   -> AC đi qua trung điểm của ME

   mà P là giao của ME và AC

   -> P là trung điểm của ME

   -> FP là đường trung tuyến của ΔMEF

   Có : H là trung điểm của MF (gt)

   -> EH là đường trung tuyến của ΔMEF

   Có : BE=BF (cmt), HE=HF (cmt)

   -> B nằm trên đường trung trực của EF, H nằm trên đường trung trực của EF

   -> BH là đường trung trực của EF

   -> BH đi qua trung điểm của EF

   mà O là giao của BH và EF

   -> O là trung điểm của EF

   -> MO là đường trung tuyến của ΔMEF

   Xét ΔMEF có :

   FP là đường trung tuyến (cmt)

   EH là đường trung tuyến (cmt)

   FP cắt EH tại K

   -> K là trọng tâm của ΔMEF

   mà MO là đường trung tuyến của ΔMEF

   -> MO đi qua K

   hay MK đi qua O (4)

   Từ (3), (4)

   -> BH,EF,MK đồng quy tại O

    

   

   Trả lời