Toán Lớp 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình $16^{x} -2.12^{x} +(m-2)9^{x} =0$ có nghiệm dương?

Question

Toán Lớp 12:  Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình $16^{x} -2.12^{x} +(m-2)9^{x} =0$ có nghiệm dương?

maianhnhiquynh · Answer

Giải đáp:   $2$ gi&aacute; trị $m$ nguy&ecirc;n dương   Lời giải và giải thích chi tiết:   $ quad 16^x - 2.12^x + (m-2).9^x = 0 qquad (*)$   $ Leftrightarrow  left( dfrac43 right)^{2x} - 2 cdot  left( dfrac43 right)^{x} + m - 2 = 0$   Đặt $t =  left( dfrac43 right)^{x} quad (t > 0)$   $x in (0;+ infty)  Rightarrow t in (1;+ infty)$   Phương tr&igrave;nh trở th&agrave;nh:   $ quad t^2 - 2t + m - 2 = 0$   $ Leftrightarrow t^2 - 2t - 2 =-m qquad (*)$   $(*)$ c&oacute; nghiệm $x in (0;+ infty)$   $ Leftrightarrow (**)$ c&oacute; nghiệm $t in (1;+ infty)$   X&eacute;t $f(t)= t^2 - 2t - 2$   $ Rightarrow f'(t)= 2t - 2$   $f'(t)= 0  Leftrightarrow t= 1$   Bảng x&eacute;t dấu:   $ begin{array}{c|ccc}t&- infty&&1&&+ infty   hline f'(t)&&-&0&+& end{array}$   Dựa v&agrave;o bảng x&eacute;t dấu, ta được:   $ mathop{ min} limits_{[1;+ infty)}f(t)= f(1)= -3$   Khi đ&oacute;:   $(**)$ c&oacute; nghiệm $t in (1;+ infty)$   $ Leftrightarrow y = - m$ cắt $y = f(t)$ tại &iacute;t nhất một điểm tr&ecirc;n $(1;+ infty)$   $ Leftrightarrow - m > - 3$   $ Leftrightarrow m < 3$   m&agrave; $m in  Bbb Z^+$   n&ecirc;n $m in  {1;2 }$