Toán Lớp 12: Cho số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $z+w=3+4i$ và $|z-w|=9$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=|z|+|w|$

Question

Toán Lớp 12:  Cho số phức $z$ và $w$ thỏa mãn $z+w=3+4i$ và $|z-w|=9$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=|z|+|w|$

lanhuongthu · Answer

Giải đáp:       Lời giải và giải thích chi tiết:    Đặt $z=x+yi left( x,y in  mathbb{R}  right)$   V&igrave; $ z+w=3+4i$      $&rArr;w= left( 3-x  right)+ left( 4-y  right)i$     M&agrave; $ left| z-w  right|=9$ n&ecirc;n:     $&rArr; left| z-w  right|= sqrt{{{ left( 2x-3  right)}^{2}}+{{ left( 2y-4  right)}^{2}}}= sqrt{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-12x-16y+25}=9$     $ Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y=28 left( 1  right)$     $&rArr;T= left| z  right|+ left| w  right|= sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+ sqrt{{{ left( 3-x  right)}^{2}}+{{ left( 4-y  right)}^{2}}}$     &Aacute;p dụng BĐT  Bunyakovsky,c&oacute;:     ${{T}^{2}} le 2 left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-6x-8y+25  right)  left( 2  right)$     Dấu $'='$ xảy ra khi $ sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}= sqrt{{{ left( 3-x  right)}^{2}}+{{ left( 4-y  right)}^{2}}}$     $(1);(2)&rArr;{{T}^{2}} le 2. left( 28+25  right) Leftrightarrow - sqrt{106} le T le  sqrt{106}$     $&rArr;MaxT= sqrt{106}$