Toán Lớp 8: a,b,c khác 0 cmr `a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2 ≥a/b+b/c+c/a`

Question

Toán Lớp 8:  a,b,c khác 0 cmr a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2 ≥a/b+b/c+c/a

kimoanh34 · Answer

Giải đáp: Lời giải và giải thích chi tiết: Chứng minh bất đẳng thức phụ 3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2 <=>3a^2 +3b^2+3c^2>=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) <=>2a^2+2b^2+2c^2>=2ab+2bc+2ca <=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca>=0 <=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>=0 Luôn đúng với AA a,b,c =>3(a^2+b^2+c^2)>=(a+b+c)^2 Áp dụng =>3(a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2)>=(a/b+b/c+c/a)^2 Lại có a,b,c>0 =>a/b+b/c+c/a>=3 root{3}{a/b . b/c .c/a}=3 =>3(a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2)>=(a/b+b/c+c/a)^2>=3(a/b+b/c+c/a) =>a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2>=a/b+b/c+c/a Dấu = xảy ra <=>a=b=c

daithanh · Answer

a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2>=a/b+b/c+c/a   &Aacute;p dụng bất đẳng thức cosi ta c&oacute;:   a^2/b^2+1>=(2a)/b   b^2/c^2+1>=(2b)/c   c^2/a^2+1>=(2c)/a   =>a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2+3>=(2a)/b+(2b)/c+(2c)/a   =>a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2>=a/b+b/c+c/a+a/b+b/c+c/a-3   &Aacute;p dụng bất đẳng thức cosi ta c&oacute;:   a/b+b/c+c/a>=3 root{3}{a/b*b/c*c/a}=3   =>a/b+b/c+c/a-3>=0   =>a^2/b^2+b^2/c^2+c^2/a^2>=a/b+b/c+c/a+a/b+b/c+c/a-3>=a/b+b/c+c/a   Dấu '=' xảy ra khi a=b=c