Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: Tìm số tự nhiên `n` để các tổng sau là số chính phương. a, `A=n^2+2n+12` b, `B=n(n+3)` c, `C=13n+3` d, `D=n^2+n+1589` e, `E=2^8+2^11+2^

Tháng Năm 30, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 9: Tìm số tự nhiên n để các tổng sau là số chính phương.
a, A=n^2+2n+12
b, B=n(n+3)
c, C=13n+3
d, D=n^2+n+1589
e, E=2^8+2^11+2^n
Mọi người giúp mình với ạ !

Comments ( 2 )

  1. huyenmi76
    huyenmi76
    30 Tháng Năm, 2022 at 2:17 sáng
    Reply
    Giải đáp:
    a) A=n^2+2n+12 là số chính phương thì n=4
    b) B=n.(n+3) là số chính phương thì n\in{0;1}
    c) C=13n+3 là số chính phương thì n=13k^2+-8k+1
    d) D=n^2+n+1589 là số chính phương thì n\in{28;43;316;1588}
    e) E=2^8+2^11+2^n là số chính phương thì n=12
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    a)
    A=n^2+2n+12
    A=n^2+2n+1+11
    A=(n+1)^2+11
    Đặt A=(n+1)^2+11=k^2(k\inNN)
    <=>(n+1)^2+11=k^2
    <=>(n+1)^2-k^2=-11
    <=>k^2-(n+1)^2=11
    <=>(k-n-1)(k+n+1)=11
    Ta có:
    k-n-1<k+n+1 và k;n là số tự nhiên
    Nên (k-n-1)(k+n+1)=1.11
    {(k-n-1=1),(k+n+1=11):}
    <=>{(k-n=2),(k+n=10):}
    <=>{(2k=12),(k+n=10):}
    <=>{(k=6),(n=4):}
    Vậy để A=n^2+2n+12 là số chính phương thì n=4
    b)
    B=n.(n+3)
    B=n^2+3n
    Đặt n^2+3n=k^2
    <=>n^2+3n-k^2=0
    <=>4.(n^2+3n-k^2)=0
    <=>4n^2+12n-4k^2=0
    <=>(2n)^2+2.2n.3+3^2-(2k)^2=9
    <=>(2n+3)^2-(2k)^2=9
    <=>(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9
    Ta có:2n+3+2kge2n+3-2k và n;k là số tự nhiên
    <=>(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9.1=3.3
    TH1:(2n+3+2k)(2n+3-2k)=3.3
    {(2n+2k=0),(2n-2k=0):}
    <=>{(n=0),(k=0):} 
    TH2:(2n+3+2k)(2n+3-2k)=9.1
    {(2n+3+2k=9),(2n+3-2k=1):}
    <=>{(2n+2k=6),(2n-2k=-2):}
    <=>{(4n=4),(2n-2k=-2):}
    <=>{(n=1),(2-2k=-2):}
    <=>{(n=1),(k=2):}
    Vậy để B=n.(n+3) là số chính phương thì n\in{0;1}
    c)
    C=13n+3
    Đặt C=13n+3=k^2
    <=>13n+3-16=k^2-16
    <=>13.(n-1)=(k-4)(k+4)
    Ta có:
    13 là số nguyên tố
    13.(n-1)\vdots13
    <=>k-4\vdots13 hoặc k+4\vdots13
    <=>k=13k+4 hoặc k=13k-4
    <=>k=13k+-4
    <=>13.(n-1)=(13k+-4)^2-16
    <=>13.(n-1)=13^2 k^2+-104k+16-16
    <=>13.(n-1)=13^2 . k^2+-104k
    <=>n-1=13k^2+-8k
    <=>n=13k^2+-8k+1
    Vậy để C=13n+3 là số chính phương thì n=13k^2+-8k+1
    d)
    D=n^2+n+1589
    Đặt D=n^2+n+1589=k^2
    <=>n^2+n+1589-k^2=0
    <=>4.(n^2+n+1589-k^2)=0
    <=>4n^2+4n+6356-4k^2=0
    <=>(2n)^2+2.2n.1+1+6355-(2k)^2=0
    <=>(2n+1)^2-(2k)^2=-6355
    <=>(2k)^2-(2n+1)^2=6355
    <=>(2k+2n+1)(2k-2n-1)=6355
    Ta có:
    2k+2n+1>2k-2n-1 và k;n là số tự nhiên
    <=>(2k+2n+1)(2k-2n-1)=155.41=205.31=1271.5=6355.1
    TH1:(2k+2n+1)(2k-2n-1)=155.41
    {(2k+2n+1=155),(2k-2n-1=41):}
    <=>{(2k+2n=154),(2k-2n=42):}
    <=>{(4k=196),(2k-2n=42):}
    <=>{(k=49),(98-2n=42):}
    <=>{(k=49),(n=28):}
    TH2:(2k+2n+1)(2k-2n-1)=205.31
    {(2k+2n+1=205),(2k-2n-1=31):}
    <=>{(2k+2n=204),(2k-2n=32):}
    <=>{(4k=236),(2k-2n=32):}
    <=>{(k=59),(118-2n=32):}
    <=>{(k=59),(n=43):}
    TH3:(2k+2n+1)(2k-2n-1)=1271.5
    {(2k+2n+1=1271),(2k-2n-1=5):}
    <=>{(2k+2n=1270),(2k-2n=6):}
    <=>{(4k=1276),(2k-2n=6):}
    <=>{(k=319),(638-2n=6):}
    <=>{(k=319),(n=316):}
    TH4:(2k+2n+1)(2k-2n-1)=6355.1
    {(2k+2n+1=6355),(2k-2n-1=1):}
    <=>{(2k+2n=6354),(2k-2n=2):}
    <=>{(4k=6356),(2k-2n=2):}
    <=>{(k=1589),(3178-2n=2):}
    <=>{(k=1589),(n=1588):}
    Vậy để D=n^2+n+1589 là số chính phương thì n\in{28;43;316;1588}
    e)
    E=2^8+2^11+2^n
    E=2^8 . (1+2^3+2^(n-8))
    E=(2^4)^2 . (1^2+2.1.2^2+16+2^(n-8)-16)
    E=(2^4)^2 . [(1+2^2)^2+2^(n-8)-16]
    Để E là số chính phương thì 2^(n-8)-16=0
    <=>2^(n-8)=16
    <=>2^(n-8)=2^4
    <=>n-8=4
    <=>n=12
    Vậy để E=2^8+2^11+2^n là số chính phương thì n=12

  2. tonhitruc
    tonhitruc
    30 Tháng Năm, 2022 at 2:16 sáng
    Reply
    Giải đáp:
    a) $n=4$
    b) $n=0$ ; $n=1$
    c) $n=13{{k}^{2}}\pm 8k+1$
    d) $n=1588$ ; $n=316$ ; $n=43$ ; $n=28$
    e) $n=12$
     
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    a)  ${{n}^{2}}+2n+12$
    Để là số chính phương thì:
    ${{n}^{2}}+2n+12={{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow \left( {{n}^{2}}+2n+1 \right)+11={{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow {{\left( n+1 \right)}^{2}}+11={{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow {{A}^{2}}-{{\left( n+1 \right)}^{2}}=11$
    $\Leftrightarrow \left( A-n-1 \right)\left( A+n+1 \right)=11=1.11$
    Do $A-n-1<A+n+1$
    Nên $\begin{cases}A-n-1=1\\A+n+1=11\end{cases}$$\Leftrightarrow $$\begin{cases}A=6\\n=4\end{cases}$
     
    b)  $n\left( n+3 \right)$
    Để là số chính phương thì:
    $n\left( n+3 \right)={{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow {{n}^{2}}+3n={{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow 4{{n}^{2}}+12n=4{{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow \left( 4{{n}^{2}}+12n+9 \right)-9=4{{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow {{\left( 2n+3 \right)}^{2}}-4{{A}^{2}}=9$
    $\Leftrightarrow \left( 2n+3-2A \right)\left( 2n+3+2A \right)=9=1.9=3.3$
    Mà do $2n+3-2A\le 2n+3+2A$
    Nên $\begin{cases}2n+3-2A=1\\2n+3+2A=9\end{cases}$   hoặc  $\begin{cases}2n+3-2A=3\\2n+3+2A=3\end{cases}$
    $\Leftrightarrow $$\begin{cases}n=1\\A=2\end{cases}$   hoặc   $\begin{cases}n=0\\A=0\end{cases}$
     
    c)  $13n+3$
    Để là số chính phương thì:
    $13n+3={{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow 13n-13+16={{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow 13\left( n-1 \right)={{A}^{2}}-16$
    $\Leftrightarrow 13\left( n-1 \right)=\left( A-4 \right)\left( A+4 \right)$
    Mà do $13$ là số nguyên tố
    Nên $\left( A-4 \right)\left( A+4 \right)$ chia hết cho $13$
    $\Leftrightarrow A\pm 4=13k\,\,\,\,\,\left( k\in \mathbb{N} \right)$
    $\Leftrightarrow A=13k\pm 4$
    Có: $13\left( n-1 \right)={{A}^{2}}-16$
    $\Leftrightarrow 13\left( n-1 \right)={{\left( 13k\pm 4 \right)}^{2}}-16$
    $\Leftrightarrow 13\left( n-1 \right)=169{{k}^{2}}\pm 104k$
    $\Leftrightarrow n-1=13{{k}^{2}}\pm 8k$
    $\Leftrightarrow n=13{{k}^{2}}\pm 8k+1$
     
    d)  ${{n}^{2}}+n+1589$
    Để ${{n}^{2}}+n+1589$ là số chính phương
    Thì ${{n}^{2}}+n+1589={{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow 4{{n}^{2}}+4n+6356=4{{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow \left( 4{{n}^{2}}+4n+1 \right)+6355=4{{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow 4{{A}^{2}}-{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}=6355$
    $\Leftrightarrow \left( 2A-2n-1 \right)\left( 2A+2n+1 \right)=6355$
    $6355=1.6355=5.1271=31.205=41.155$
    Mà do $2A-2n-1<2A+2n+1$
    Vậy:
    $\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}2A-2n-1=1\\2A+2n+1=6355\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=1589\\n=1588\end{cases}$
    $\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}2A-2n-1=5\\2A+2n+1=1271\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=319\\n=316\end{cases}$
    $\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}2A-2n-1=31\\2A+2n+1=205\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=59\\n=43\end{cases}$
    $\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}2A-2n-1=41\\2A+2n+1=155\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}A=49\\n=28\end{cases}$
     
    e)  ${{2}^{8}}+{{2}^{11}}+{{2}^{n}}$
    Để ${{2}^{8}}+{{2}^{11}}+{{2}^{n}}$ là số chính phương
    Thì ${{2}^{8}}+{{2}^{11}}+{{2}^{n}}={{A}^{2}}$
    $\Leftrightarrow {{A}^{2}}-\left( {{2}^{8}}+{{2}^{11}} \right)={{2}^{n}}$
    $\Leftrightarrow {{A}^{2}}-{{48}^{2}}={{2}^{n}}$
    $\Leftrightarrow \left( A-48 \right)\left( A+48 \right)={{2}^{n}}$
    $\Leftrightarrow\begin{cases}A-48=2^x\\A+48=2^y\end{cases}$     $\left( x,y\in \mathbb{N},x<y \right)$
    $\Leftrightarrow {{2}^{y}}-{{2}^{x}}=96$
    $\Leftrightarrow {{2}^{y}}-{{2}^{x}}={{2}^{7}}-{{2}^{5}}$
    $\Leftrightarrow\begin{cases}x=5\\y=7\end{cases}$
    Từ: $\left( A-48 \right)\left( A+48 \right)={{2}^{n}}$
    $\Leftrightarrow {{2}^{x}}{{.2}^{y}}={{2}^{n}}$
    $\Leftrightarrow {{2}^{x+y}}={{2}^{n}}$
    $\Leftrightarrow {{2}^{12}}={{2}^{n}}$
    $\Leftrightarrow n=12$

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Nhi

About Nhi