Toán Lớp 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: $3^x+4^y=5^z$ Không dùng $\ln$ hay đồng biến nghịch biến, dùng cách của cấp 2 thôi ạ

0 bình luận về “Toán Lớp 9: Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: $3^x+4^y=5^z$ Không dùng $\ln$ hay đồng biến nghịch biến, dùng cách của cấp 2 thôi ạ”

1. 5^{z}=3^{x}+4^{y}\equiv 1(mod4)\Rightarrow 3^{x}\equiv 1(mod4) \Rightarrow x chẵn

   Đặt x=2b

   3^{x}+4^{y}\equiv 1(mod3)\Rightarrow 5^{z}\equiv 1(mod3) \Rightarrow z chẵn

   Đặt z=2a

   Thay vào phương trình thì được :

   3^{2b}+4^{y}=5^{2a}\Leftrightarrow (5^{a}-3^{b})(5^{a}+3^{b})=2^{2y}

   Do đó :

   \begin{matrix} 5^{a}-3^{b}= 2^{m}& & \\ 5^{b}+3^{b}=2^{n} & & \end{matrix}

   Với m,n tự nhiên và m<n với m+n=2y

   Ta có: 2.3^{b}=2^{n}-2^{m}=2^{m}(2^{n-m}-1)\Rightarrow m=1

   Do đó : 5^{a}=3^{b}+2\equiv 1(mod4)\Rightarrow 3^{b}\equiv 3(mod4)\Rightarrow b lẻ

   \Rightarrow 5^{a}=3^{b}+2\equiv 5(mod8)

   Đồng thời: 2.5^{a}=2^{n}+2\Leftrightarrow 5^{a}=2^{n-1}+1

   Lại có: 5^{a}\equiv 5(mod8)\Rightarrow 2^{n-1}+1\equiv 5(mod8)\Rightarrow 2^{n-1}\equiv 4(mod8)\Rightarrow n=3

   Khi đó :2y = m+n=1+3=4⇒y=2

   Có 5^{a}=2^{n-1}+1⇒a=1⇒x=2

   ⇒z=2

   Trả lời