Toán Lớp 9: `\text{Ko dùng tứ giác nội tiếp và góc nội tiếp, giải thích đc hướng vẽ đường phụ thì tốt!}` Cho `2` đường tròn `(O; R); (O’; r)` tiếp

TRẢ LỜI

1. Giải đáp:

    

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   Không mất tính tổng quát giả sử $R ≥ r$

   Ta có $:∠AOB + ∠AO’C = (180^{0} – 2.∠OAB) + (180^{0} – 2.∠O’AC)$

   $ = 360^{0} – 2.(∠OAB + ∠O’AC) = 360^{0} – 2.90^{0} = 180^{0} $

   $ ⇒ OB//O’C$

   Xét 2 trường hợp :

   – Nếu $R = r’ ⇔ OB//=O’C ⇔ OBCO’ $ là hbh

   $ ⇒ BC//OO’ ⇒ AH⊥OO’ ⇒ H$ chạy trên đường thắng

   $d$ cố định đi qua $A$ và $d⊥OO’$

   ( Cậu tự giới hạn quỹ tích)

   – Nếu $R > r ⇒ OBCO’ $ là hình thang. Gọi $P = BC∩OO’$

   Ta có $: \dfrac{OP}{OB} = \dfrac{O’P}{OC} ⇔ \dfrac{OP}{OB} = \dfrac{OP – OO’}{OC}$

   $ ⇔ OP(\dfrac{1}{OC} – \dfrac{1}{OB}) = \dfrac{OO’}{OC}$

   $ ⇔ OP = \dfrac{OB.OO’}{OB – OC} =  \dfrac{R.(R + r)}{R – r}$ không đổi

   $ ⇒ P$ cố định . Mà $∠AHP = 90^{0} ⇒ H$ chạy trên

   đường tròn đường kính $AP$ cố định xác định như trên.

   ( Cậu tự giới hạn quỹ tích)

   Vẽ $AK//OB$ ta có:

   $\dfrac{AK}{OB} = \dfrac{AP}{OP} = \dfrac{OP – OA}{OP} = 1 – \dfrac{OA}{OP}$

   $ = 1 – \dfrac{R}{OP} = 1 – \dfrac{R – r}{R + r} = \dfrac{2r}{R + r} ⇒ AK = \dfrac{2Rr}{R + r}$

   $ ⇒ AH ≤ AK = \dfrac{2Rr}{R + r} (*)$

   Dấu $’=’$ xảy ra khi $K≡H ⇔ OB⊥BC ⇔BC$

   là tiếp tuyến chung ngoài của $(O); (O’)$

   Chú ý : Từ đây suy ra Quỹ tích của $H$ là phần đường thẳng

   đi qua $A$ và vuông góc với $OO’$ ( nếu $R = r$) hoặc

   phần cung tròn của đường tròn đường kính $AP$ ( Nếu $R > r$)

   được giới hạn bởi 2 tiếptuyến chung ngoài của $(O); (O’)$

   

   Trả lời