Toán Lớp 9: `\text{Ko dùng tứ giác nội tiếp và góc nội tiếp, giải thích đc hướng vẽ đường phụ thì tốt!}` Cho `M\in (O)` đường kính `AB`, `MH ⊥AB`.

TRẢ LỜI

1. Giải đáp:

   $GTLN$ của $AH +MH = (\sqrt{2} + 1)R ⇔ AH = (1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2})R$

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   Đặt $: AH = x > 0 ; y = AH + MH = x + MH$

   $ ⇒ y – x = MH ⇒ (y – x)²= MH² = AH.BH$

   $ ⇔ y² – 2xy + x² = x(2R – x) $

   $ ⇔ 2x² – 2(y + R)x + y² = 0 (1)$

   Điều kiện để $(1)$ có nghiệm $x$ là:

   $Δ’_{y} = (y + R)² – 2y² ≥ 0$

   $ ⇔ 2y² ≤ (y + R)² ⇔ y\sqrt{2} ≤ y + R$

   $ ⇔ y(\sqrt{2} – 1) ≤ R ⇔ y ≤ (\sqrt{2} + 1)R (2)$

   Vậy $GTLN$ của $y = AH +MH = (\sqrt{2} + 1)R $

   xảy ra khi $(2)$ thỏa mãn $(1)$

   $ 2x² – 2(x\sqrt{2}).(\sqrt{2} + 1)R + [(\sqrt{2} + 1)R]² = 0 $

   $ ⇔ [x\sqrt{2} – (\sqrt{2} + 1)R]² = 0 ⇔ x = (1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2})R$

   Cách dựng hình:

   Giả sử $H$ thuộc đoạn $OA$ thì bao giờ cũng tồn tại $H’$

   đối xứng với $H$ qua $O$ và $AH < AH’; M’H’ = MH$ khi đó:

   $ AH + MH < AH’ + M’H’$

   Vì vậy chỉ xét $H$ thuộc đoạn $OB$

   Trên cung nhỏ $BM$ lấy $M_{0}$ sao cho $∠BOM_{0} = 45^{0}$

   tiếp tuyến của $(O)$ tại $M_{0}$ cắt $AB$ tại $P$ và cắt $MH$ tại $M’$

   $ ⇒ ΔHM’P$ vuông cân tại $H ⇒ MH ≤ M’H = PH $

   $ ⇒ AH + MH ≤ AH + PH = AP = AO + OP = R(1 + \sqrt{2})$

   Vậy $GTLN$ của $AH + MH = R(1 + \sqrt{2})$

   xảy ra khi $M≡M_{0} ⇔ ∠BOM = 45^{0}$

    

   

   Trả lời