Toán Lớp 9: cho tam giác ABC vuông tại A có AB nhỏ hơn AC.vẽ đường tròn (B,BA) và (C,CA).gọi d là giao điểm thứ hai của 2 đường tròn B và C. vẽ đườ

Question

Toán Lớp 9:  cho tam giác ABC vuông tại A có AB nhỏ hơn AC.vẽ đường tròn (B,BA) và (C,CA).gọi d là giao điểm thứ hai của 2 đường tròn B và C. vẽ đường kính DE của đường tròn C.tiếp tuyến của đường tròn C tại E cắt BA tại K. chứng minh CK vuông góc với BC

thienthanh · Answer

a    )     a)     Gọi        I     I     l&agrave; giao điểm của        A    D     AD     v&agrave;        B    C     BC  .   X&eacute;t đường tr&ograve;n (O) c&oacute; đường k&iacute;nh        B    C    &perp;    A    D     BC&perp;AD     tại I n&ecirc;n I l&agrave; trung điểm của d&acirc;y AD (định l&yacute;)   Suy ra        B    C     BC     l&agrave; đường trung trực của        A    D     AD     n&ecirc;n theo t&iacute;nh chất đường trung trực ta c&oacute;:        B    A    =    B    D     BA=BD     Tam gi&aacute;c        B    A    D     BAD     c&acirc;n tại        B     B     c&oacute;        B    I    &perp;    A    D     BI&perp;AD     n&ecirc;n        B    I     BI     l&agrave; tia ph&acirc;n gi&aacute;c của g&oacute;c        A    B    D    .     ABD.     Suy ra:             &circ;       A    B    I          =         &circ;       D    B    I           ABI^=DBI^     M&agrave;             &circ;       A    B    I          =         &circ;       H    B    F           ABI^=HBF^     (đối đỉnh)   v&agrave;             &circ;       D    B    I          =         &circ;       H    B    E           DBI^=HBE^     ( đối đỉnh)   Suy ra:             &circ;       H    B    E          =         &circ;       H    B    F           HBE^=HBF^     Do đ&oacute;      B    H     BH     l&agrave; tia ph&acirc;n gi&aacute;c của g&oacute;c        E    B    F     EBF     Tam gi&aacute;c        E    B    F     EBF     c&oacute;        B    H     BH     l&agrave; tia ph&acirc;n gi&aacute;c của g&oacute;c        E    B    F     EBF     v&agrave;        B    H    &perp;    E    F     BH&perp;EF     n&ecirc;n tam gi&aacute;c        E    B    F     EBF     c&acirc;n tại        B    .     B.          b    )     b)     Tam gi&aacute;c        E    B    F     EBF     c&acirc;n tại        B     B     c&oacute; BH l&agrave; đường cao n&ecirc;n BH cũng l&agrave; đường trung tuyến.   Suy ra        H    E    =    H    F     HE=HF     Tam gi&aacute;c        A    E    F     AEF     vu&ocirc;ng tại        A     A     c&oacute;        A    H     AH     l&agrave; đường trung tuyến ứng với cạnh huyền n&ecirc;n:        H    A    =    H    E    =    H    F    =           1      2             E    F           HA=HE=HF=12EF     (t&iacute;nh chất tam gi&aacute;c vu&ocirc;ng)   Vậy tam gi&aacute;c        A    H    F     AHF     c&acirc;n tại        H    .     H.          c    )     c)     Tam gi&aacute;c        A    H    F     AHF     c&acirc;n tại        H     H     n&ecirc;n             &circ;       H    A    F          =         &circ;       H    F    A           HAF^=HFA^          (    1    )     (1)     Tam gi&aacute;c        A    O    B     AOB     c&acirc;n tại        O     O     n&ecirc;n             &circ;       O    A    B          =         &circ;       O    B    A           OAB^=OBA^     M&agrave;             &circ;       A    B    I          =         &circ;       H    B    F           ABI^=HBF^     ( đối đỉnh)   Suy ra:             &circ;       O    A    B          =         &circ;       H    B    F           OAB^=HBF^             (    2    )     (2)     Từ        (    1    )     (1)     v&agrave;        (    2    )     (2)     suy ra:             &circ;       H    A    O          =         &circ;          H    A    F             +         &circ;       O    A    B           HAO^=HAF^+OAB^       =         &circ;       H    F    B          +         &circ;       H    B    F           =HFB^+HBF^             (    3    )     (3)     Tam gi&aacute;c        B    H    F     BHF     vu&ocirc;ng tại        H     H     n&ecirc;n             &circ;       H    F    B          +         &circ;       H    B    F          =      90      ∘       HFB^+HBF^=90∘            (    4    )     (4)     Từ        (    3    )     (3)     v&agrave;        (    4    )     (4)     suy ra:             &circ;       H    A    O          =      90      ∘       HAO^=90∘     hay        H    A    &perp;    A    O     HA&perp;AO     Vậy        H    A     HA     l&agrave; tiếp tuyến của đường tr&ograve;n        (    O    )    .     (O).