Toán Lớp 9: Cho đường tròn tâm O đường kính AB,điểm M thuộc đường tròn tâm O,tiếp tuyến tại M và B cắt nhau tại D.Qua O kẻ đường thẳng song song v

Question

Toán Lớp 9:  Cho đường tròn tâm O đường kính AB,điểm M thuộc đường tròn tâm O,tiếp tuyến tại M và B cắt nhau tại D.Qua  O kẻ đường thẳng song song với MB cắt tiếp tuyến qua M tại C và cắt tiếp tuyến qua B tại N a.chứng minh tam giác CDN cân b.AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O c.tích AC.BD không phụ thuốc vào vị trí của điểm M

danvanthu · Answer

Giải đáp:

Lời giải và giải thích chi tiết:

a.
Từ tính chất tiếp tuyến: $D M = D B \Rightarrow △ D B M$ cân tại $D \Rightarrow \hat{D B M} = \hat{D M B}$
$C N ∥ B M \Rightarrow \hat{D C N} = \hat{D B M}; \hat{D N C} = \hat{D M B}$
Suy ra $\hat{D C N} = \hat{D N C} \Rightarrow △ D N C$ cân tại $D$ .
b.
Ta có $D M = D B; O M = O B \Rightarrow D O$ là đường trung trực của $B M \Rightarrow D O ⊥ B M$ .
mà $M B ∥ N C$ nên $D O ⊥ N C$
$△ D N C$ cân tại $D$ có $D O$ là đường cao nên cũng là đường trung trực $\Rightarrow O C = O N$
$△ O A C = △ O B N (c . g . c) \Rightarrow \hat{O B N} = \hat{O A C}$
Mà $B N$ là tiếp tuyến của $(O) \Rightarrow \hat{O B N} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{O A C} = 90^{\circ} \Righarrow A C$ là tiếp tuyến của $(O)$ .
c.
2 tiếp tuyến $A C$ và $M C$ cắt nhau tại $C \Rightarrow A C = M C$ .
$A C . B D = M C . M D$
Ta có $D O ⊥ C N \Rightarrow \hat{D O C} = 90^{\circ}$
Áp dụng hệ thức lượng trong $△ D O C$ vuông tại $O, O M ⊥ D C$
$M C . M D = O M^{2} = R^{2}$
Suy ra $A C . B D = R^{2}$ không đổi.