Toán Lớp 9: Cho `Δ ABC` nhọn,các đường cao `AD,BE,CF` cắt nhau tại` H` `a)` `CM:(HD)/(HA)+(HE)/(HB)+(HF)/(CH) ≥3/2` `CM:(HA)/(HD).(HB)/(HE).(HC)/

Question

Toán Lớp 9:  Cho  Δ ABC nhọn,các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H a)  CM:(HD)/(HA)+(HE)/(HB)+(HF)/(CH) ≥3/2 CM:(HA)/(HD).(HB)/(HE).(HC)/(HF) ≥8

quynhthanhnghi · Answer

Giải đáp: l&agrave;m phần dưới trước nh&eacute;       Lời giải và giải thích chi tiết:   *Đặt S&Delta;BHC=a, S&Delta;ABH=b, S&Delta;AHC=c , S&Delta;ABC=a+b+c=x   Ta c&oacute; : x/a = AD.BC/HD.BC = AD/HD       &rArr; x-a/a = AD-HD/HD &rArr; b+c/a = HA/HD   cmtt &rArr; c+a/b = HC/HF, a+b/c = HB/HE   cần CM: (a+b)(b+c)(c+a)/abc &ge; 8 &hArr; (a+b)(b+c)(c+a) &ge; 8abc   &aacute;p dụng bất đẳng thức c&ocirc; si ta c&oacute;: a+b &ge; 2&radic;ab                                              b+c &ge; 2&radic;bc ; c+a &ge; 2&radic;ca   &rArr; (a+b)(b+c)(c+a) &ge; 2&radic;ab.2&radic;bc.2&radic;ca = 8abc   vậy ta c&oacute; đpcm   * Ta c&oacute;: HD/HA + HE/HB + HF/HC &ge; 3/2           &hArr; a/b+c + c/b+a + b/a+c &ge; 3/2   c&oacute;: a/b+c + b/c+a + c/b+a   = a&sup2;/ab+bc + b&sup2;/bc+ca + c&sup2;/cb+ca    &ge; (a+b+c)&sup2;/2(ab+bc+ca) (bất đẳng thức cauchy-schwarz)   &ge; 3(ab+bc+ca)/2(ab+bc+ca) = 3/2 ( v&igrave; (a+b+c)&sup2;&ge;3(ab+bc+ca)   vậy ta c&oacute; đpcm   Dấu '=' xảy ra ở cả 2 bdt tr&ecirc;n l&agrave; a=b=c tức l&agrave; tam gi&aacute;c ABC đều