Toán Lớp 8: Tìm giá trị lớn nhất của x/x^2-x+1

Question

Toán Lớp 8:  Tìm giá trị lớn nhất của x/x^2-x+1

cobexinhdep · Answer

Lời giải và giải thích chi tiết: $ frac{x}{x^2-x+1}= frac{1}{x-1+ frac{1}{x}}$ $Theo$ $định$ $lí$ $Cô-si,$ $ta$ $có:$ $x+ frac{1}{x} ≥ 2 sqrt{x. frac{1}{x}}$ $(dấu$ $=$ $xảy$ $ra$ $khi$ $và$ $chỉ$ $khi$ $x= frac{1}{x}$ $<=>$ $x=±1$) $<=>$ $x+ frac{1}{x} ≥ 2$ $<=>$ $x-1+ frac{1}{x} ≥ 1$ $<=>$ $ frac{1}{x-1+ frac{1}{x}} ≤ 1 $ $Vậy$ $max$ $ frac{x}{x^2-x+1}= 1$ $khi$ $và$ $chỉ$ $khi$ $x=±1$ $Deawoo$ $Xin$ $câu$ $trả$ $lời$ $hay$ $nhất$

buithaianh98 · Answer

Chia cả tử cả mẫu cho x ta được:   $ frac{x}{x^{2}-x+1}$ = $ frac{1}{x-1+ frac{1}{x}}$ = $ frac{1}{x+ frac{1}{x}-1}$   &Aacute;p dụng bất đẳng thức cauchy cho 2 số x v&agrave; $ frac{1}{x}$ ta c&oacute;:    x + $ frac{1}{x}$ &ge; 2 &times; $ sqrt[]{x &times;  frac{1}{x}}$ = 2   &rArr; x + $ frac{1}{x}$ - 1 &ge; 1   &rArr; $ frac{1}{x+ frac{1}{x}-1}$ &le; 1   &rArr; $ frac{x}{x^{2}-x+1}$ &le; 1   Dấu '=' xảy ra &hArr; x = $ frac{1}{x}$ &hArr; x = 1   Vậy gi&aacute; trị lớn nhất l&agrave; 1 đạt được khi x = 1