Toán Lớp 8: CMR : a mũ 7 – a chia hết cho 7 ( a là số nguyên )

Question

Toán Lớp 8:  CMR : a mũ 7 – a chia hết cho 7 ( a là số nguyên )

kimlien · Answer

Giải đáp + giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải:     a^7-a   =a(a^6-1)   =a(a^3-1)(a^3+1)   Lại c&oacute;:   Với a=7k->a vdots7   Với a=7k+1->a^3-1=(7k+1)^3-1=(7k)^3+3.(7k)^2+3.7k vdots7   Với a=7k-1->a^3+1=(7k-1)^3+1=(7k)^3-3.(7k)^2+3.7k vdots7   Với a=7k+2->a^3-1=(7k+2)^3-1=(7k)^3+3.(7k)^2+3.7k+7 vdots7   Với a=7k-2->a^3+1=(7k-2)^3+1=(7k)^3-3.(7k)^2+3.7k-7 vdots7   Với a=7k+3->a^3+1=(7k+3)^3+1=(7k)^3+3.(7k)^2+3.7k+28 vdots7   Với a=7k-3->a^3-1=(7k-3)^3-1=(7k)^3-3.(7k)^2+3.7k-28 vdots7   Vậy a^7-a vdots7  forall a

landinhngoc97 · Answer

qquad a^7-a (a inZZ)   =a(a^6-1)   =a(a^3-1)(a^3+1)   =a(a-1)(a^2+a+1)(a+1)(a^2-a+1)   X&eacute;t a  vdots 7 => a^7-a  vdots 7 (1)   X&eacute;t a chia 7 dư 1;6 th&igrave; a=7k+-1    Khi đ&oacute; a+-1=7k => a^7-a  vdots 7 (2)   X&eacute;t a chia 7 dư 2;5 th&igrave; a=7k+-2 n&ecirc;n:    qquad a^2+-a+1   =(7k+-2)^2+-7k+-2+1   =49k^2+-28k+4+-7k+3   =49k^2+-35k+7  vdots 7   => a^7-a  vdots 7 (3)   X&eacute;t a chia 7 dư 3;4 th&igrave; a=7k+-3 n&ecirc;n   +) a^2-a+1   =(7k+3)^2-(7k+3)+1   =49k^2+42k+9-7k-2   =49k^2+49k+7  vdots 7   +) a^2+a+1   =(7k-3)^2+(7k-3)+1   =49k^2-42k+9+7k-2   =49k^2-35k+7  vdots 7   => a^7-a  vdots 7 (4)   Từ (1)(2)(3)(4)=> a^7-a  vdots 7 với AAa inZZ