Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Chứng minh với 3 số dương a,b,c ta có 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ≤ 1/2(1/a + 1/b + 1/c)

Tháng Hai 7, 2023 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 8: Chứng minh với 3 số dương a,b,c ta có 1/(a+b) + 1/(b+c) + 1/(c+a) ≤ 1/2(1/a + 1/b + 1/c)

Comments ( 2 )

  1. bichhhathu
    bichhhathu
    7 Tháng Hai, 2023 at 9:18 chiều
    Reply
    Ta có bất đẳng thức:
    $\dfrac{1}{x+y}\leqslant \dfrac14\left(\dfrac1x +\dfrac1y\right)$
    Áp dụng:
    $\dfrac{1}{a+b}\leqslant \dfrac14\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)$
    $\dfrac{1}{b+c}\leqslant \dfrac14\left(\dfrac1b +\dfrac1c\right)$
    $\dfrac{1}{c+a}\leqslant \dfrac14\left(\dfrac1c +\dfrac1a\right)$
    Cộng vế theo vế ta được:
    $\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a}\leqslant \dfrac14\left[2\cdot \left(\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c\right)\right]$
    $\Leftrightarrow \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c} +\dfrac{1}{c+a}\leqslant \dfrac12\left(\dfrac1a +\dfrac1b +\dfrac1c\right)$
    Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

  2. tonhitruc
    tonhitruc
    7 Tháng Hai, 2023 at 9:18 chiều
    Reply
    $\\$
    Ta chứng minh BĐT sau : 1/x+1/y\ge 4/(x+y) (Với x,y>0)
    ↔ (x+y)/(xy)\ge 4/(x+y)
    ↔ (x+y)^2\ge 4xy
    ↔ x^2+2xy+y^2-4xy\ge 0
    ↔ (x-y)^2\ge 0 (Luôn đúng)
    Dấu “=” xảy ra khi :
    (x-y)^2=0↔x-y=0↔x=y
    Trở lại bài.
    Áp dụng BĐT 1/x+1/y\ge 4/(x+y) (Với x,y>0) ta được :
    1/a+1/b\ge 4/(a+b)
    1/b+1/c\ge 4/(b+c)
    1/a+1/c\ge 4/(a+c)
    -> 2 (1/a+1/b+1/c) \ge 4 (1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))
    -> 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)\le 1/2 (1/a+1/b+1/c)
    Dấu “=” xảy ra khi :
    a=b,b=c, c=a↔a=b=c
     

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Thúy Hường

About Thúy Hường