Toán Lớp 8: Chứng minh rằng nếu \frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} thì:
\frac{1}{a^2017+b^2017+c^2017}=\frac{1}{a^2017}+\frac{1}{b^2017}+\frac{1}{c^2017}
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: Chứng minh rằng nếu \frac{1}{a+b+c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} thì:
\frac{1}{a^2017+b^2017+c^2017}=\frac{1}{a^2017}+\frac{1}{b^2017}+\frac{1}{c^2017}
Comments ( 1 )
Giải đáp:
Lời giải và giải thích chi tiết:
Ta có : $\dfrac{1}{a + b + c}$ = $\dfrac{1}{a}$ + $\dfrac{1}{b}$ + $\dfrac{1}{c}$
⇒ $\dfrac{1}{a + b + c}$ = $\dfrac{ab + bc + ac}{abc}$
$\ ⇒ (a + b + c)(ab + bc + ac) = abc $
$\ ⇒ a²b + abc + a²c + ab² + b²c + abc + abc + bc² + ac² – abc = 0 $
$\ ⇒ a²b + abc + a²c + ab² + b²c + abc + bc² + ac² = 0 $
$\ ⇒ (a²b + ab²) + (a²c + abc) + (abc + b²c) + (ac² + bc²) = 0 $
$\ ⇒ ab(a + b) + ac(a + b) + bc(a + b) + c²(a + b) = 0 $
$\ ⇒ (a + b)(ab + ac + bc + c²) = 0 $
$\ ⇒ (a + b)[(ab + ac) + (bc + c²)] = 0 $
$\ ⇒ (a + b)[a(b + c) + c(b + c)] = 0 $
$\ ⇒ (a + b)(b + c)(a + c) = 0 $
⇒ $\begin{cases} a + b = 0\\b + c = 0\\a + c = 0 \end{cases}$
⇒ $\begin{cases} a = – b\\b = – c\\a = – c \end{cases}$
– Thay $\ a = – b $ vào biểu thức ta được:
⇒ $\dfrac{1}{a^{2017} + b^{2017} + c^{2017}}$ = $\dfrac{1}{a^{2017}}$ + $\dfrac{1}{b^{2017}}$ + $\dfrac{1}{c^{2017}}$
⇒ $\dfrac{1}{a^{2017} + (- b)^{2017} + c^{2017}}$ = $\dfrac{1}{a^{2017}}$ + $\dfrac{1}{(-b)^{2017}}$ + $\dfrac{1}{c^{2017}}$
⇒ $\dfrac{1}{c^{2017}}$ = $\dfrac{1}{c^{2017}}$
(Tương tự với các trường hợp còn lại)
⇔ $\dfrac{1}{a^{2017} + b^{2017} + c^{2017}}$ = $\dfrac{1}{a^{2017}}$ + $\dfrac{1}{b^{2017}}$ + $\dfrac{1}{c^{2017}}$ $\ (ĐPCM) $