Toán Lớp 8: cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH.Từ H kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại M.Trên tia đối của tia MH lấy E sao cho EH=AC. Cho N là trung điểm của AC.Tia HN cắt AE tại I, MI cắt AH tại O.Chứng minh E,O,N thẳng hàng
Leave a reply
Comments ( 1 )
Lời giải và giải thích chi tiết:
Ta có:
$\Delta ABC$ cân ở $A$ nên $H$ là trung điểm của $BC$
$\to HM $ là đường trung bình của tam giác $ABC$
$\to M$ là trung điểm của $AB$
Lại có:
Tứ giác $AEHC$ có $HE//AC;HE=AC$
$\to $ Tứ giác $AEHC$ là hình bình hành.
$\to AE//HC;AE=HC$
$\to AE//BH;AE=BH$
$\to AEBH$ là hình bình hành.
$\to EH,AB$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà $M$ là trung điểm của $AB$
$\to M$ là trung điểm của $EH$
Ta có:
$HN$ là đường trung bình của $\Delta ABC$
$\to HN//AB\to HI//AB$
Mà $AE//BH$ (chứng minh trên) $\to AI//BH$
Như vậy: $HI//AB;AI//BH\to AIHB$ là hình bình hành.
$\to AI//HB;AI=HB$
$\to AI//HC;AI=HC$
$\to AICH$ là hình bình hành.
$\to AC,HI$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mà $N$ là trung điểm $AC$
$\to N$ là trung điểm của $HI$.
Lại có: $AE=AI=HC\to A$ là trung điểm của $EI$
Xét tam giác $EHI$ có: $M,A,N$ lần lượt là trung điểm của $EH,EI$ và $HI$
$\to IM, HA, EN$ là trung tuyến của tam giác
Mà $IM\cap HA=O\to O$ là trọng tâm của tam giác $ EHI$
$\to E,O,N$ thẳng hàng