Toán Lớp 8: cho n thuộc Z CMR n^5 -n chia hết cho 5 giúp m vs ạ

Question

Toán Lớp 8:  cho n thuộc Z  CMR n^5 -n chia hết cho 5 giúp m vs ạ

kimnguenoanh · Answer

Ta có: n^5-n =n(n^4-1) =n(n^2-1)(n^2+1) =(n-1)n(n+1)(n^2+1) Xét n vdots 5 <=> n^5-n vdots 5 (1) Xét n chia 5 dư 1;4 ->n=5k+-1 -> n+-1=5k <=> n^5-n vdots 5 (2) Xét n chia 5 dư 2;3 ->n=5k+-2 -> n^2+1 =(5k+-2)^2+1 =25k^2+-20k+4+1 =25k^2+-20k+5 vdots 5 <=> n^5-n vdots 5 (3) Từ (1)(2)(3)=> ( text{đpcm})

cobebongdem · Answer

text(Theo b&agrave;i ra ta c&oacute; :)   n^5 - n = n(n^4 - 1)   = n(n^2 - 1)(n^2 + 1)   = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)   = n(n - 1)(n + 1)(n^2 - 4 + 5)   = (n^2 - 4) . n(n - 1)(n + 1) - 5n(n - 1)(n + 1)   = (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1) - 5n(n - 1)(n + 1)   Với  n &isin; Z :    (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1) text(l&agrave; t&iacute;ch của 5 số tự nhi&ecirc;n li&ecirc;n tiếp)   &rArr; (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1)  vdots 5   M&agrave;  5n(n - 1)(n + 1)  vdots 5   &rArr; (n - 2)(n + 2)n(n - 1)(n + 1) - 5n(n - 1)(n + 1)  vdots 5   Vậy  n^5 - n  vdots 5 text(với mọi x &isin; Z)