Toán Lớp 8: Cho hình thoi ABCD có AC = 10 cm , BD = 8 cm . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA. a) Chứng minh rằng tứ giác MNP

Question

Toán Lớp 8:  Cho hình thoi ABCD có AC = 10 cm , BD = 8 cm . Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB , BC , CD , DA. a) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. b) Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình chữ nhật . c) Tính diện tích tứ giác MNPQ.

cobebongdem · Answer

a/      X&eacute;t  triangle ABC c&oacute; :   $  $ M l&agrave; trung điểm của AB (gt)   $  $ N l&agrave; trung điểm của BC (gt)   $  $   $ Rightarrow MN$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh ứng với cạnh AC (đ/n)   $  $   $ Rightarrow MN  parallel AC$ (t/c)  quad (1) $  $   Chứng minh tương tự ta cũng được :   $  $   $QP  parallel AC$ ( QP l&agrave; đường trung b&igrave;nh của  triangle ADC ứng với cạnh AC)  quad (2)   $  $ Từ (1) v&agrave; (2) : $ Rightarrow MN  parallel PQ$    $  $ X&eacute;t  triangle ABD c&oacute; :   $  $   M l&agrave; trung điểm AB (gt)   $  $    Q l&agrave; trung điểm của AD (gt)   $  $   => MQ l&agrave; đường tủng b&igrave;nh của  triangle ABD ứng với cạnh BD.   $  $   $ Rightarrow MQ  parallel BD$ (t/c)  quad (3)   $  $ Chứng minh tương tự :   $  $ $ Rightarrow NP$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh của  triangle BCD   $  $   $ Rightarrow NP  parallel BD$ (t/c)  quad(4)   $  $ Từ (3) v&agrave; (4)  : $ Rightarrow NP  parallel MQ$  $  $ Ta c&oacute; : $ begin{cases} MN  parallel PQ    NP  parallel MQ  end{cases}$     Suy ra : MNPQ l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh (dhnb).      b/   $  $   V&igrave; AC  bot BD => MQ  bot AC  $  $ M&agrave; $AC  parallel PQ  Rightarrow $ MQ  bot QP.     Suy ra :  hat{MQP} = 90^o =>  H&igrave;nh b&igrave;nh MNPQ l&agrave; h&igrave;nh chữ nhật .      c/       S_{MNPQ} = MN . NP =1/2AC  . 1/2BD= 1/2 . 10 . 1/2 . 8 = 20 (cm^2)

hienthucthu97 · Answer

a) X&eacute;t $ triangle ABC$ c&oacute;:   $ begin{cases}AM = MB = dfrac12AB  BN = NC = dfrac12BC end{cases}$   $ Rightarrow MN$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh   $ Rightarrow  begin{cases}MN//AC  MN= dfrac12AC = 5  cm end{cases}$   Tương tự ta được:   $NP$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh của $ triangle BCD$   $ Rightarrow  begin{cases}NP//BD  NP= dfrac12BD = 4  cm end{cases}$   $PQ$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh của $ triangle ACD$   $ Rightarrow  begin{cases}PQ//AC  PQ= dfrac12AC = 5  cm end{cases}$   $MQ$ l&agrave; đường trung b&igrave;nh của $ triangle ABD$   $ Rightarrow  begin{cases}MQ//BD  MQ= dfrac12BD = 4  cm end{cases}$   Do đ&oacute;:   $ begin{cases}MN//PQ    (//AC)  NP//MQ    (//BD) end{cases}$   $ Rightarrow MNPQ$ l&agrave; h&igrave;nh b&igrave;nh h&agrave;nh   b) Ta c&oacute;:   $ begin{cases}MN//AC  NP//BD  AC perp BD end{cases}$   $ Rightarrow MN perp NP$   $ Rightarrow  widehat{MNP}= 90^ circ$   Do đ&oacute; $MNPQ$ l&agrave; hinhg chữ nhật   c) Diện t&iacute;ch h&igrave;nh chữ nhật $MNPQ:$   $S = MN.NP = 5.4 = 20  (cm^2)$