Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 8: Cho a là số nguyên tố p>5 , k là số nguyên dương chứng minh $a^{4k}$ -1 chia hết cho 240

Home/ Toán Lớp 8: Cho a là số nguyên tố p>5 , k là số nguyên dương chứng minh $a^{4k}$ -1 chia hết cho 240

Toán Lớp 8: Cho a là số nguyên tố p>5 , k là số nguyên dương chứng minh $a^{4k}$ -1 chia hết cho 240

Tháng Mười Một 27, 2022 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 8: Cho a là số nguyên tố p>5 , k là số nguyên dương chứng minh $a^{4k}$ -1 chia hết cho 240

Comments ( 2 )

  1. truonganhthi
    truonganhthi
    27 Tháng Mười Một, 2022 at 12:50 sáng
    Reply
    Giải đáp:
     
    Lời giải và giải thích chi tiết:
     Ta có: a^(4k)-1=(a^2k)^2-1=(a^(2k)-1)(a^(2k)+1)=(a^k-1)(a^k+1)(a^(2k)+1)
    Nếu a lẻ thì (a^k-1)(a^k+1) vdots 8
    =>(a^(2k)+1) vdots 2
    =>a^(4k)-1 vdots 16
    Nếu a chẵn thì a^(4k)-1 \cancel{vdots} 2
    +) Xét a=3n +-1 (n in NN) =>(3n+-1)^2-1=9n^2+-6n+1-1=3(3n^2+-2k) vdots 3
    +) Xét a=3n (n in NN) =>9n^2-1 chia 3 dư 2
    +) Xét a=5n+-1  (n in NN) => (5n+-1)^2-1=25n^2+-10n+1-1=25n^2+-10n=5(5n^2+-2n) vdots 5
    =>a^(4k)-1 vdots 16 * 5 * 3 =240

  2. danvanthu
    danvanthu
    27 Tháng Mười Một, 2022 at 12:50 sáng
    Reply
    $\text{$a^{4k}$ -1}$
    $\text{=($a^{2k}$ -1).($a^{2k}$ +1)}$
    $\text{=($a^{k}$ -1).($a^{k}$ +1).($a^{2k}$ +1)}$
    $\text{Vì a là số nguyên tố lớn hơn 5 nên a là số lẻ}$
    $\text{Nên $a^{k}$ -1;$a^{k}$ +1 là hai số chẵn liên tiếp nên }$
    $\text{($a^{k}$ -1).($a^{k}$ +1) $\vdots$ 8}$
    $\text{ Và a lẻ nên $a^{2k}$ +1  $\vdots$ 2 }$
    $\text{Suy ra  ($a^{k}$ -1).($a^{k}$ +1).($a^{2k}$ +1) $\vdots$ 16 (1)}$
      
    $\text{Vì a là số nguyên tố lớn hơn 5 nên a không chia hết cho 3}$
    $\text{⇒$a^{k}$ chia cho 3 dư 1 ,2}$
    $\text{+) $a^{k}$ chia cho 3 dư 1  ⇒$a^{k}$ -1 $\vdots$ 3}$
    $\text{+)$a^{k}$ chia cho 3 dư 2  ⇒$a^{k}$ +1 $\vdots$ 3}$
    $\text{Suy ra ($a^{k}$ -1).($a^{k}$ +1).($a^{2k}$ +1) $\vdots$ 3 (2)}$
    $\text{Vì  a là số nguyên tố lớn hơn 5 nên a không chia hết cho 5}$
    $\text{⇒ $a^{k}$ chia cho 3 dư 1 ,2,3,4}$
    $\text{+) $a^{k}$ chia cho 5 dư 1  ⇒$a^{k}$ -1 $\vdots$ 5}$
    $\text{+)$a^{k}$ chia cho 5 dư 4  ⇒$a^{k}$ +1 $\vdots$ 5}$
    $\text{+)$a^{k}$ chia cho 5 dư 2,3 ⇒$a^{2k}$  chia cho 5 dư 4}$
    $\text{Nên  $a^{2k}$ +1 chia hết cho 5}$
    $\text{Suy ra ($a^{k}$ -1).($a^{k}$ +1).($a^{2k}$ +1) $\vdots$ 5 (3) }$
    $\text{Nên từ (1);(2);(3)⇒($a^{k}$ -1).($a^{k}$ +1).($a^{2k}$ +1) $\vdots$ 240 }$
         

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Hải Phượng

About Hải Phượng