Toán Lớp 8: Cho: a,b,c>0 a+b+c=3
CMR: $\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b} ≥ \frac{3}{2}$
(Dùng biện pháp AM-GM)
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: Cho: a,b,c>0 a+b+c=3
CMR: $\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b} ≥ \frac{3}{2}$
(Dùng biện pháp AM-GM)
Comments ( 1 )
Đặt VT của BĐT cần chứng minh là $A$
Vậy ta cần chứng minh $A\ge \dfrac{3}{2}$
Biến đổi $A$ ta được :
$A=\dfrac{a^4}{ab+ac}+\dfrac{b^4}{bc+ab}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\\=\dfrac{(a^2)^2}{ab+ac}+\dfrac{(b^2)^2}{bc+ab}+\dfrac{(c^2)^2}{ac+bc}$
Áp dụng BĐT Cộng Mẫu ta được :
$A\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(ab+bc+ca)}$
Áp dụng BĐT $a^2+b^2+c^2\le ab+bc+ca$ ta được :
$2(ab+bc+ca)\le 2(a^2+b^2+c^2)\\\to A\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2(a^2+b^2+c^2)}\\\to A\ge \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}\\\to A\ge \dfrac{3}{2}$
Dấu “$=$” xảy ra khi : $a=b=c=1$