Toán Lớp 8: cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a^3+b^3+c^3 = 3abc. chứng minh rằng a=b=c

Question

Toán Lớp 8:  cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a^3+b^3+c^3 = 3abc. chứng minh rằng a=b=c

kimnguenoanh · Answer

Ta có: a^3+b^3+c^3=3abc <=>a^3+b^3+c^3-3abc=0 <=> a^3+(b+c)^3-3bc(b+c)-3abc=0 <=>(a+b+c) ( a^2-a(b+c)+(b+c)^2 )-3bc(b+c+a)=0 <=> (a+b+c) ( a^2-ab-ac+b^2+c^2+2bc-3bc)=0 <=> (a+b+c) ( a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0 <=> a+b+c=0 hoặc ( a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0 (*) Giải (*): ( a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0 <=>2( a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=0 <=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0 <=>(a^2-2bc+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0 <=> (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0 <=> (a-b)^2=0 và (b-c)^2=0 và (a-c)^2=0 <=> a-b=0 và b-c=0 và a-c=0 <=> a=b và b=c và a=c <=> a=b=c Vậy a,b,c thỏa mãn a^3+b^3+c^3 = 3abc thì a=b=c

cobebongdem · Answer

text{Ta có:} a^3 + b^3 + c^3 = 3abc => a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 => (a+b)^3 + c^3 - 3abc - 3a(a+b)=0 => (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 -ac- bc + c^2 ) - 3a(a+b+c)=0 => (a+b+c)(a^2 +b^2 +c^2 -ac-ac-bc)=0 <=> ( left[ begin{array}{l}a+b+c=0 a^2 +b^2 +c^2 -ac-ab-bc=0 end{array} right. ) text{Xét} a^2 + b^2 +c^2 -ab-ac -bc=0 <=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc =0 <=> (a^2 - 2ab + b^2 ) + (a^2 - 2ac + c^2 ) + (b^2 - 2bc + c^2 ) =0 <=> (a-b)^2 + (a-c)^2 + (b-c)^2 =0 (1) {:( text{mà} (a-b)^2 ≥ 0 ∀ a,b ),((a-c)^2 ≥ 0 ∀ a,c),((b-c)^2 ≥ 0 ∀ b,c ):}} => (a-b)^2 +(a-c)^2 +(b-c)^2 ≥ 0 ∀ a,bc (2) text{Từ (1) và (2)} =>{(a-b=0),(a-c=0),(b-c=0):} <=> a=b=c (đpcm)