Toán Lớp 12: Số giá trị nguyên nhỏ hơn $2020$ của tham số $m$ để phương trình $log_{6}(2020x+m)=log_{4}1010x$ có nghiệm là

TRẢ LỜI

1. Giải đáp:

   $2022$

   Lời giải và giải thích chi tiết:

   $\quad \log_6(2020x + m)= \log_41010x$

   Đặt $\log_6(2020x + m)= \log_41010x = t$

   $\Rightarrow \begin{cases}6^t = 2020x + m\\4^t = 1010x\end{cases}$

   Ta được:

   $\quad 2.4^t = 6^t – m$

   $\Leftrightarrow 6^t – 2.4^t = m$

   Xét $f(t)= 6^t – 2.4^t$

   $\Rightarrow f'(t)= 6^t\ln6 – 4.4^t\ln2$

   $f'(t)= 0 \Leftrightarrow t \approx 1,1$

   Bảng xét dấu:

   $\begin{array}{c|ccc}t&-\infty&&1,1&&+\infty\\\hline f'(t)&&-&0&+&\end{array}$

   Ta được:

   $\min f(t)= f(1,1)\approx – 2,01$

   Phương trình có nghiệm

   $\Leftrightarrow f(t)= m$ có nghiệm

   $\Leftrightarrow y = m$ cắt $y = f(t)$ tại ít nhất một điểm

   $\Leftrightarrow – 2,01 \leqslant m$

   Ta lại có: $m < 2020$

   nên $- 2,01 \leqslant m < 2020$

   mà $m\in \Bbb Z$

   Do đó: $m\in\underbrace{\{-2;-1;0;\dots;2018;2019\}}_{\text{2022 giá trị m}}$

   Trả lời