Toán Lớp 11: tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=sinx+cosx+sinxcosx

0 bình luận về “Toán Lớp 11: tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=sinx+cosx+sinxcosx”

1. $\quad y = \sin x + \cos x + \sin x\cos x$

   Đặt $t = \sin x + \cos x \quad \left(t\in \left[-\sqrt2;\sqrt2\right]\right)$

   $\Rightarrow t^2 = 1 + 2\sin x\cos x$

   $\Rightarrow \dfrac{t^2 – 1}{2} = \sin x\cos x$

   Hàm số trở thành: $y = f(t) = t +  \dfrac{t^2 – 1}{2}\quad \left(t\in \left[-\sqrt2;\sqrt2\right]\right)$

   $\Rightarrow y’ = f'(t) = 1 + t$

   $y’ = 0 \Leftrightarrow t= -1\in \left[-\sqrt2;\sqrt2\right]$

   Bảng biến thiên:

   \(\begin{array}{|c|cr|}
   \hline
   x & -\sqrt2 & & & -1 & & & \sqrt2\\
   \hline
   y’ & & – &  & 0 &  & + &\\
   \hline
   &\dfrac{1- 2\sqrt2}{2}&&&&&&\dfrac{1 + 2\sqrt2}{2}\\
   y & &\searrow& && & \nearrow\\
   &&&&-1\\
   \hline
   \end{array}\)

   Dựa vào bảng biến thiên, ta được:

   $+)\quad \mathop{\min}y = f(-1) =-1$

   $\Leftrightarrow t = -1$

   $\Leftrightarrow \sin x + \cos x + -1$

   $\Leftrightarrow \left[\begin{array}x =\pi + k\pi\\x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi\end{array}\right.\quad (k\in \Bbb Z)$

   $+)\quad \mathop{\max}y = f\left(\sqrt2\right) = \dfrac{1 + 2\sqrt2}{2}$

   $\Leftrightarrow t = \sqrt2$

   $\Leftrightarrow \sin x + \cos x = \sqrt2$

   $\Leftrightarrow x = – \dfrac{\pi}{4} + k2\pi\quad (k\in\Bbb Z)$

   Trả lời