Toán Lớp 11: tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=sinx+cosx+sinxcosx

Question

Toán Lớp 11:  tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=sinx+cosx+sinxcosx

dananhnhu2k4 · Answer

$ quad y =  sin x +  cos x +  sin x cos x$   Đặt $t =  sin x +  cos x  quad  left(t in  left[- sqrt2; sqrt2 right] right)$   $ Rightarrow t^2 = 1 + 2 sin x cos x$   $ Rightarrow  dfrac{t^2 - 1}{2} =  sin x cos x$   H&agrave;m số trở th&agrave;nh: $y = f(t) = t +   dfrac{t^2 - 1}{2} quad  left(t in  left[- sqrt2; sqrt2 right] right)$   $ Rightarrow y' = f'(t) = 1 + t$   $y' = 0  Leftrightarrow t= -1 in  left[- sqrt2; sqrt2 right]$   Bảng biến thi&ecirc;n:    ( begin{array}{|c|cr|}  hline x & - sqrt2 & & & -1 & & &  sqrt2    hline y' & & - &  & 0 &  & + &    hline & dfrac{1- 2 sqrt2}{2}&&&&&& dfrac{1 + 2 sqrt2}{2}   y & & searrow& && &  nearrow   &&&&-1    hline  end{array} )   Dựa v&agrave;o bảng biến thi&ecirc;n, ta được:   $+) quad  mathop{ min}y = f(-1) =-1$   $ Leftrightarrow t = -1$   $ Leftrightarrow  sin x +  cos x + -1$   $ Leftrightarrow  left[ begin{array}x = pi + k pi  x = - dfrac{ pi}{2} + k2 pi end{array} right. quad (k in  Bbb Z)$   $+) quad  mathop{ max}y = f left( sqrt2 right) =  dfrac{1 + 2 sqrt2}{2}$   $ Leftrightarrow t =  sqrt2$   $ Leftrightarrow  sin x +  cos x =  sqrt2$   $ Leftrightarrow x = -  dfrac{ pi}{4} + k2 pi quad (k in Bbb Z)$