Toán Lớp 11: tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=sinx+cosx+sinxcosx

Question

Toán Lớp 11:  tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=sinx+cosx+sinxcosx

haianhtu97 · Answer

$ begin{array}{l} { left( { sin x +  cos x}  right)^2} = 1 + 2 sin x cos x     Leftrightarrow { left( { sin x +  cos x}  right)^2} - 1 = 2 sin x cos x     Rightarrow  sin x cos x =  dfrac{{{{ left( { sin x +  cos x}  right)}^2} - 1}}{2}   y =  sin x +  cos x +  dfrac{{{{ left( { sin x +  cos x}  right)}^2}}}{2} -  dfrac{1}{2}     Leftrightarrow y = t +  dfrac{{{t^2}}}{2} -  dfrac{1}{2}     Leftrightarrow y =  dfrac{{{t^2}}}{2} + t -  dfrac{1}{2}  end{array}$    Với $t= sin x+ cos x, t in [- sqrt 2; sqrt 2]$. H&agrave;m số bậc 2 n&agrave;y c&oacute; dạng l&agrave; parabol hướng l&ecirc;n, c&oacute; tọa độ đỉnh l&agrave; $(-1;-1)$   Ta thấy $t(-1)<y(- sqrt 2)<t( sqrt 2)$ n&ecirc;n gi&aacute; trị lớn nhất của h&agrave;m số l&agrave; tại $t= sqrt 2$ v&agrave; gi&aacute; trị nhỏ nhất của h&agrave;m số tại $t=-1$   Với $t=-1$ ta suy ra    $ begin{array}{l}  sqrt 2  sin  left( {x +  dfrac{ pi }{4}}  right) =  - 1     Leftrightarrow  sin  left( {x +  dfrac{ pi }{4}}  right) =  dfrac{{ -  sqrt 2 }}{2}     Leftrightarrow  left[  begin{array}{l} x +  dfrac{ pi }{4} =  -  dfrac{ pi }{4} + k2 pi    x +  dfrac{ pi }{4} =  dfrac{{5 pi }}{4} + k2 pi   end{array}  right.     Leftrightarrow  left[  begin{array}{l} x =  dfrac{{ -  pi }}{2} + k2 pi    x =  pi  + k2 pi   end{array}  right.  Rightarrow x =  pi  + k dfrac{ pi }{2}  end{array}$   Với $t= sqrt 2$ ta suy ra   $ begin{array}{l}  sqrt 2  sin  left( {x +  dfrac{ pi }{4}}  right) =  sqrt 2      Leftrightarrow  sin  left( {x +  dfrac{ pi }{4}}  right) = 1     Leftrightarrow x +  dfrac{ pi }{4} =  dfrac{ pi }{2} + k2 pi      Leftrightarrow x =  dfrac{ pi }{4} + k2 pi   end{array}$