Toán Lớp 8: Cho x;y là các số thực dương thỏa mãn 2x+3y=4 . Tìm gí trị lớn nhất của P=x.y

Question

Toán Lớp 8:  Cho x;y là các số thực dương thỏa mãn 2x+3y=4 . Tìm gí trị lớn nhất của P=x.y

daolanhoa · Answer

$  2x+3y=4&hArr; 2x=4-3y  P=xy  &hArr;2P=2xy  = (4-3y)y  =-3y^2 + 4y  =-3 (y^2- dfrac{4}{3}y)  =-3(y^2-2.y. dfrac{2}{3}+ dfrac{4}{9}- dfrac{4}{9})  =-3(y- dfrac{2}{3})^2+ dfrac{4}{3}&le; dfrac{4}{3}  &hArr;P&le; dfrac{2}{3}$   Dấu '$=$' xảy ra khi :   $(y- dfrac{2}{3})^2=0  &hArr;y- dfrac{2}{3}=0  &hArr;y= dfrac{2}{3}$   Do đ&oacute; : $x= dfrac{4-3. dfrac{2}{3}}{2}=1$   Vậy $P_{max}= dfrac{2}{3}&hArr;x=1,y= dfrac{2}{3}$

phuongthuydung · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết: 2x+3y=4 <=> (2x+3y)^2=16 Áp dụng Bất đẳng thức Côsi: (2x+3y)^2 >=4.2x.3y >=24xy Hay 16>=24xy <=> 24xy<=16 <=> xy<=16/24 <=> xy<=2/3 Hay P<=2/3 Dấu = xảy ra khi: {(2x=3y),(2x+3y=4):} <=> {(2x=3y),(3y+3y=4):} <=> {(x=3/2 y),(6y=4):} <=> {(x=3/2 y),(y=2/3):} <=> {(x=1),(y=2/3):} Vậy P_max=2/3 tại x=1; y=2/3