Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 12: giải pt a) y” -2y’+y=2$e^{x}$ ___________ b) y” -3y’ +2y =(6x+7) $e^{-x}$

Tháng Ba 27, 2022 Toán học 1 Comment 0 views

Toán Lớp 12: giải pt
a) y” -2y’+y=2$e^{x}$
___________
b) y” -3y’ +2y =(6x+7) $e^{-x}$

Comments ( 1 )

  1. quynhthanhnghi
    quynhthanhnghi
    27 Tháng Ba, 2022 at 6:53 sáng
    Reply
    Giải đáp:
    $a)\quad y = (C_1 + C_2x)e^x + x^2e^x$
    $b)\quad y = C_1e^x + C_2e^{2x} + (x +2)e^{-x}$
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    $a)\quad y” – 2y’ + y = 2e^x\qquad (*)$
    Phương trình đặc trưng:
    $\quad k^2 – 2k + 1 =0$
    $\Leftrightarrow (k-1)^2 =0$
    $\Leftrightarrow k = 1$
    Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
    $y = (C_1 + C_2x)e^x$
    Ta có, vế phải của $(*)$ có dạng: $2e^{1x}$
    $\Rightarrow \alpha = 1$
    Do đó một nghiệm riêng của $(*)$ có dạng:
    $y = C.x^2e^x$
    $\Rightarrow y’ = C.x e^x(x + 2)$
    $\Rightarrow y” = C.e^x(x^2 + 4x + 2)$
    Thay vào $(*)$ ta được:
    $C.e^x(x^2 + 4x + 2) – 2C.x e^x(x + 2) + C.x^2e^x = 2e^x$
    $\Leftrightarrow 2C = 2$
    $\Leftrightarrow C = 1$
    $\Rightarrow y = x^2e^x$ là một nghiệm riêng của $(*)$
    Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
    $y = (C_1 + C_2x)e^x + x^2e^x$
    $b)\quad y” – 3y’ + 2y = (6x + 7)e^{-x}\qquad (**)$
    Phương trình đặc trưng:
    $\quad k^2 – 3k + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array}\right.$
    Do nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:
    $y= C_1e^x + C_2e^{2x}$
    Ta có, vế phải của $(**)$ có dạng: (6x + 7).e^{-1x}$
    $\Rightarrow \alpha = -1$
    Do đó một nghiệm riêng của $(**)$ có dạng:
    $y = (Ax + B)e^{-x}$
    $\Rightarrow y’ = e^{-x}(-Ax + A – B)$
    $\Rightarrow y” = e^{-x}(Ax – 2A + B)$
    Thay vào $(**)$ ta được:
    $e^{-x}(Ax – 2A + B) – 3e^{-x}(-Ax + A – B) + 2(Ax + B)e^{-x} = (6x + 7)e^{-x}$
    $\Leftrightarrow 6Ax – 5A + 6B = 6x + 7$
    $\Leftrightarrow \begin{cases}A = 1\\B = 2\end{cases}$
    Do đó $y = (x +2)e^{-x}$ là một nghiệm riêng của $(**)$
    Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:
    $y = C_1e^x + C_2e^{2x} + (x +2)e^{-x}$

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Hạ Uyên

About Hạ Uyên