Toán Lớp 8: Cho $abc \ne 0; a+b+c=0$
Tính:
$$A=\dfrac{a^2}{(a-b)(a+b)-c^2}+\dfrac{b^2}{(b-c)(b+c)-a^2}+\dfrac{c^2}{(c-a)(c+a)-b^2}$$
Leave a reply
Register Now
Login
Lost Password
Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.
Toán Lớp 8: Cho $abc \ne 0; a+b+c=0$
Tính:
$$A=\dfrac{a^2}{(a-b)(a+b)-c^2}+\dfrac{b^2}{(b-c)(b+c)-a^2}+\dfrac{c^2}{(c-a)(c+a)-b^2}$$
Comments ( 2 )
Giải đáp: $\dfrac32$
Lời giải và giải thích chi tiết:
Ta có:
$A=\dfrac{a^2}{(a-b)(a+b)-c^2}+\dfrac{b^2}{(b-c)(b+c)-a^2}+\dfrac{c^2}{(c-a)(c+a)-b^2}$
$=\dfrac{a^2}{a^2-b^2-c^2}+\dfrac{b^2}{b^2-c^2-a^2}+\dfrac{c^2}{c^2-a^2-b^2}$
Lại có: $a+b+c=0$ (đề cho)
$=>a=-(b+c)$
$=>a^2=[-(b+c)]^2=(b+c)^2$
$=>a^2=b^2+c^2+2bc$
$=>a^2-b^2-c^2=2bc$ (1)
Chứng minh tương tự như trên, ta cũng có:
$b^2-c^2-a^2=2ac$ (2)
$c^2-a^2-b^2=2ab$ (3)
Thay (1)(2)(3) vào biểu thức $A$, ta có:
$=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ac}+\dfrac{c^2}{2ab}$
$=\dfrac{a^2.a}{2abc}+\dfrac{b^2.b}{2abc}+\dfrac{c^2.c}{2abc}$
$=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$
$=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}$ (ĐKXĐ: $abc\neq 0$)
$=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac32$ (Do $a+b+c=0$ nên $a^3+b^3+c^3=3abc$, xem tại phần sau)
Vậy giá trị của biểu thức $A$ là $\dfrac32$
Bình luận: $a^3+b^3+c^3=3abc$ khi $a+b+c=0$
Chứng minh: Xét $N=a^3+b^3+c^3-3abc$
$=>N=(a^3+b^3+3a^2b+3ab^2)-(3a^2b+3ab^2)+c^3-3abc$
$=>N=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc$
$=>N=[(a+b)^3+c^3]-(3ab(a+b)+3abc)$
$=>N=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b).c+c^2]-3ab(a+b+c)$
$=>N=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b).c+c^2-3ab]$
$=>N=0.[(a+b)^2-(a+b).c+c^2-3ab]=0$
$=>N=a^3+b^3+c^3-3abc=0$
$=>a^3+b^3+c^3=3abc<=>a+b+c=0$
=> Điều phải chứng minh
A=a^2/((a-b)(a+b)-c^2)+b^2/((b-c)(b+c)-a^2)+c^2/((c-a)(c+a)-b^2)
Ta có a+b+c=0
=>a+b=-c
<=>(a+b)^2=(-c)^2
<=>a^2+b^2-c^2=2ab
<=>[(c^2-a^2-b^2=2ab),(b^2-c^2-a^2=2ac),(a^2-b^2-c^2=2bc):}
Do đó:
A=a^2/(2bc)+b^2/(2ac)+c^2/(2ab)=(a^3+b^3+c^3)/(2abc)
Theo đề ta biết a+b+c=0 thì a^3+b^3+c^3=3abc
=>A=(3abc)/(2abc)
=>A=3/2