Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: các prob ơi cho a,b,c thuộc [1,2] cmr a ²+b ²+c ²+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a) ≥(a+b+c) ³

Tháng Hai 19, 2023 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 9: các prob ơi
cho a,b,c thuộc [1,2] cmr a ²+b ²+c ²+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a) ≥(a+b+c) ³

Comments ( 2 )

  1. hothaibinh
    hothaibinh
    19 Tháng Hai, 2023 at 3:44 sáng
    Reply
    Đpcm ⇔ a²+b²+c²+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a)≥(a+b+c)³
    ⇔a²+b²+c²+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a)≥a³+b³+c³+3.(a+b)(b+c)(c+a)
    ⇔a²+b²+c²+ab+bc+ca≥a³+b³+c³ (*)
    Vì a thuộc [1,2] nên a(a-1)(a-2)≤≤0
    ⇔a(a²-a-2a+2)≤0
    ⇔a(a²-3a+2)≤0
    Nên a³≤3a²-2a
    Tương Tự  b³≤3b²-2b
    c³≤3c²-2c
    Suy ra a³+b³+c³≤3(a²+b+c²)-2(a+b+c)
    Nên để chứng minh (*)  ta chứng minh
      3(a²+b+c²)-2(a+b+c)≤a²+b²+c²+ab+bc+ca
    ⇔2(a²+b²+c²)≤ab+bc+ca+2(a+b+c)
    Vì a thuộc [1,2] nên (a-1)(a-2)≤0
    ⇔a²≤3.a-2
    Tương tự b²≤3b-2
    c²≤3c-2
    Suy ra a²+b²+c²≤3(a+b+c)-6
    ⇔2(a²+b²+c²)≤6(a+b+c)-12
    Nên ta chứng minh 
    6(a+b+c)-12≤ab+bc+ca+2(a+b+c)
    ⇔ 4(a+b+c)≤ab+bc+ca+12
    Ta có vì a thuộc [1,2] nên (a-2)(b-2)≥0
    ⇔ab-2a-2b+4≥0
    ⇔ab+4≥2a+2b
    Tương tự bc+4≥2b+2c
    ca+4≥2c+2a
    Suy ra ab+bc+ca+12≥4(a+b+c) (DPcm)

  2. ngoclandiep
    ngoclandiep
    19 Tháng Hai, 2023 at 3:44 sáng
    Reply
    Giải đáp:
    Lời giải và giải thích chi tiết:
    Ta có: $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$
    Ta cần chứng minh:
    $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq (a+b+c)^3$
    $⇔ a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$
    $⇔ a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geq a^3+b^3+c^3$
    Vì $a ∈ [1; 2]$ nên $a(a-1)(a-2) \leq 0$
    $⇔ a^3-3a^2+2a \leq 0$
    $⇔ a^3 \leq 3a^2-2a$
    Tương tự: $b^3 \leq 3b^2-2b$
    $c^3 \leq 3c^2-2c$
    Cộng từng vế $3$ bất đẳng thức trên ta được:
    $a^3+b^3+c^3 \leq 3a^2+3b^2+3c^2-2a-2b-2c$
    Khi đó ta cần chứng minh:
    $3a^2+3b^2+3c^2-2a-2b-2c \leq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$
    $⇔ 2a^2+2b^2+2c^2 \leq 2a+2b+2c+ab+bc+ca$
    Vì $a, b, c ∈ [1; 2]$ nên $(a-1)(a-2) \leq 0$
    $⇔ a^2-3a+2 \leq 0$
    Tương tự: $b^2-3b+2 \leq 0$
    $c^2-3c+2 \leq 0$
    Từ đó: $a^2+b^2+c^2 \leq 3a+3b+3c-6$
    $⇔ 2a^2+2b^2+2c^2 \leq 6a+6b+6c-12$
    Khi đó ta cần chứng minh:
    $6a+6b+6c-12 \leq 2a+2b+2c+ab+bc+ca$
    $⇔ 4a+4b+4c-12 \leq ab+bc+ca$
    Mặt khác: $a, b, c ∈ [1; 2]$
    $⇒ (a-2)(b-2) \geq 0$
    $⇔ ab-2a-2b+4 \geq 0$
    $⇔ ab \geq 2a+2b-4$
    Tương tự: $bc \geq 2b+2c-4$
    $ca \geq 2c+2a-4$
    Từ đó suy ra: $ab+bc+ca \geq 4a+4b+4c-12$
    Hay $4a+4b+4c-12 \leq ab+bc+ca$
    $⇒ đpcm$
    Dấu $”=”$ xảy ra khi $(a; b; c)=(1; 2; 2)$ và các hoán vị.

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Thanh Hương

About Thanh Hương