Toán Lớp 8: Cho a+b+c=6 và a^2+b^2+c^2=12 tính P=(a-3)^2020+(b-3)^2020+(c-3)^2020

Question

Toán Lớp 8:  Cho a+b+c=6 và a^2+b^2+c^2=12 tính P=(a-3)^2020+(b-3)^2020+(c-3)^2020

cobexinhdep · Answer

Ta đi chứng minh $3(a^2+b^2+c^2) ge (a+b+c)^2$   $ begin{array}{l} 3 left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  right)  ge { left( {a + b + c}  right)^2}     Leftrightarrow 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2}  ge {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca     Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca  ge 0     Leftrightarrow { left( {a - b}  right)^2} + { left( {b - c}  right)^2} + { left( {c - a}  right)^2}  ge 0  end{array}$   Dấu bằng xảy ra khi v&agrave; chỉ khi $a=b=c$   X&eacute;t $(a+b+c)^2=6^2=36$ v&agrave; $3(a^2+b^2+c^2)=36$ n&ecirc;n $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)^2$ n&ecirc;n dấu bằng xảy ra. Vậy $a=b=c=2$   $ begin{array}{l} P = {(a - 3)^{2020}} + {(b - 3)^{2020}} + {(c - 3)^{2020}}   P = { left( {2 - 3}  right)^{2020}} + { left( {2 - 3}  right)^{2020}} + { left( {2 - 3}  right)^{2020}}   P = { left( { - 1}  right)^{2020}} + { left( { - 1}  right)^{2020}} + { left( { - 1}  right)^{2020}} = 3  end{array}$