Register Now

Login

Lost Password

Lost your password? Please enter your email address. You will receive a link and will create a new password via email.

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Toán Lớp 9: các anh chuyên toán ơi cho a,b,c>0 và abc=1.cmr (a+b)(b+c)(c+a) ≥4(x+y+z-1)

Tháng Hai 12, 2023 Toán học 2 Comments 0 views

Toán Lớp 9: các anh chuyên toán ơi
cho a,b,c>0 và abc=1.cmr
(a+b)(b+c)(c+a) ≥4(x+y+z-1)

Comments ( 2 )

  1. myngocla
    myngocla
    12 Tháng Hai, 2023 at 7:45 chiều
    Reply
    Đpcm ⇔ (a+b)(b+c)(c+a)≥4(a+b+c-1)
    ⇔(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc≥4(a+b+c)-4
    ⇔(a+b+c)(ab+bc+ca)-1≥4(a+b+c)-4
    ⇔(a+b+c)(ab+ca+ca)+3≥4(a+b+c)
    Áp dụng Am-Gm ,ta có
      (a+b+c)(ab+ca+ca)+3
    =$\frac{(a+b+c)(ab+ca+ca)}{3}$ +$\frac{(a+b+c)(ab+ca+ca)}{3}$ +$\frac{(a+b+c)(ab+ca+ca)}{3}$+3
    ≥4.$\sqrt[4]{\frac{(a+b+c)(ab+ca+ca)}{3}.\frac{(a+b+c)(ab+ca+ca)}{3}.\frac{(a+b+c)(ab+ca+ca)}{3}.3}$
    =4.(a+b+c)$\sqrt[4]{\frac{(ab+bc+ca)^{3}}{9(a+b+c)}}$ 
    Ta sẽ chứng minh $\sqrt[4]{\frac{(ab+bc+ca)^{3}}{9(a+b+c)}}$ ≥1
    Hay $\frac{(ab+bc+ca)³}{9(a+b+c)}$ 
    =$\frac{(ab+bc+ca)³}{9abc(a+b+c)}$ 
    =$\frac{(ab+bc+ca)³}{9[(ab)+(bc)+(ca)}$ 
    Ta áp dụng CT :(x+y+z)²≥3(xy+yz+zx)
    nên $\frac{(ab+bc+ca)³}{9(a+b+c)}$ ≥$\frac{(ab+bc+ca)³}{3(ab+bc+ca)²}$
    =$\frac{(ab+bc+ca)}{3}$≥$\sqrt[3]{a.b.b.c.c.a}$ =1

  2. quynhthanhnhu
    quynhthanhnhu
    12 Tháng Hai, 2023 at 7:44 chiều
    Reply
    Giải đáp + giải thích các bước giải:
    (a+b)(b+c)(c+a)>=4(a+b+c-1)
    ->(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc>=4(a+b+c)-4
    ->(a+b+c)(ab+bc+ca)+3>=4(a+b+c)
    Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:
    3 . ((a+b+c)(ab+bc+ca))/3+3>=4\root{4}{[(a+b+c)(ab+bc+ca)]^3/9}=4(a+b+c)\root{4}{(ab+bc+ca)^3/(9(a+b+c))}
    Bài toán trở thành chứng minh (ab+bc+ca)^3/(9(a+b+c))>=1
    (ab+bc+ca)^3/(9(a+b+c))=(ab+bc+ca)^3/(3.3abc(a+b+c))>=(ab+bc+ca)^3/(3(ab+bc+ca)^2)=(ab+bc+ca)/3 >= (3\root{3}{a^2b^2c^2})/3=1
    ->đpcm
    Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

Leave a reply

222-9+11+12:2*14+14 = ? ( )

Ngọc Quý

About Ngọc Quý