Toán Lớp 9: Chứng minh rằng: n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n

Question

Toán Lớp 9:  Chứng minh rằng: n5 – 5n3 + 4n chia hết cho 120 với mọi số nguyên n

maingocquynhnhu2k1 · Answer

Ta c&oacute;:    qquad n^5 -5n^3+4n (n in ZZ)   =n(n^4-5n^2+4)   =n(n^4-4n^2-n^2+4)   =n[(n^2(n^2-4)-(n^2-4)]   =n(n^2-1)(n^2-4)   =n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)   =(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)   V&igrave; (n-2)(n-1)n l&agrave; t&iacute;ch của 3 số nguy&ecirc;n li&ecirc;n tiếp    =>(n-2)(n-1)n   vdots  3 =>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)   vdots  3 $(1)$   V&igrave; (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) l&agrave; t&iacute;ch của 5 số nguy&ecirc;n li&ecirc;n tiếp    =>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)   vdots  5 $(2)$   V&igrave; (n-2);(n-1);n;(n+1);(n+2) l&agrave; $5$ số nguy&ecirc;n li&ecirc;n tiếp n&ecirc;n c&oacute; &iacute;t nhất 2 số chẵn   Gọi số chẵn nhỏ nhất trong $5$ số đ&oacute; l&agrave; 2k  (k in ZZ)   => Số chẵn liền sau của 2k l&agrave; 2k+2   =>2k.(2k+2)=2k.2(k+1)=4k.(k+1)   V&igrave; k.(k+1) l&agrave; t&iacute;ch hai số nguy&ecirc;n li&ecirc;n tiếp    =>k.(k+1)   vdots  2   =>4k.(k+1)   vdots  (4.2)=8   =>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)   vdots  8 $(3)$   V&igrave; ƯCLN(3;5;8)=1   Từ (1);(2);(3)   =>(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)   vdots  (3.5.8)=120   =>(n^5-5n^3+4n) vdots  (3.5.8)=120   Vậy n^5-5n^3+4n chia hết cho 120 với n in ZZ

dantam45 · Answer

bạn xem h&igrave;nh