Toán Lớp 9: Cho x+y=1. Chứng minh rằng x ²+y ² ≥1/2

Question

Toán Lớp 9:  Cho x+y=1. Chứng minh rằng x ²+y ²  ≥1/2

dantam45 · Answer

forall x ; y ta có : (x-y)^2 ge 0 <=> x^2 - 2xy + y^2 ge 0 <=> x^2 + y^2 ge 2xy <=> x^2 + y^2 + x^2 + y^2 ge x^2 + y^2 + 2xy <=> 2 (x^2 + y^2) ge (x+y)^2 <=> 2 (x^2 + y^2) ge 1^2 (do x + y = 1) <=> 2 (x^2 + y^2) ge 1 <=> x^2 + y^2 ge 1/2 Dấu = xảy ra <=> x = y = 1/2 Vậy với x+y=1 thì x^2+ y^2 ge 1/2 ---- forall x ta có : (x-1/2)^2 ge 0 <=> x^2 - x + 1/4 ge 0 <=> x^2 ge x - 1/4 Tương tự ta có : y^2 ge y - 1/4 => x^2 + y^2 ge x - 1/4 + y - 1/4 <=> x^2 + y^2 ge x + y - 1/2 <=> x^2 + y^2 ge 1 - 1/2 (do x + y =1) <=> x^2 + y^2 ge 1/2 Dấu = xảy ra <=>x = y = 1/2 Vậy với x+y=1 thì x^2+ y^2 ge 1/2

annhocbichchaubich · Answer

Giải đáp+Lời giải và giải thích chi tiết: Với mọi số thực x,y ta luôn có: (x-y)^2>=0 <=>x^2-2xy+y^2>=0 <=>x^2+y^2>=2xy <=>x^2+y^2+x^2+y^2>=x^2+y^2+2xy <=>2(x^2+y^2)>=(x+y)^2 <=>2(x^2+y^2)>=1 <=>x^2+y^2>=1/2(đpcm) Dấu '=' xảy ra khi x-y=0<=>x=y=1/2.