Toán Lớp 8: Cho hình bình hành ABCD có AB = 6cm, AD = 4cm. Các tia phân giác các góc của
hình bình hành cắt nhau tạo thành tứ giác EFGH .
a)Tứ giác EFGH là hình gì.
b) Tính độ dài đường chéo của tứ giác EFGH.
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì thì tứ giác EFGH có diện tích lớn nhất
Leave a reply
Comments ( 1 )
a,
ABCD là hình bình hành
-> $CD//AB, CD=AB$
hat{A_1}=1/2 hat{DAB}
hat{D_1}=1/2hat{ADC}
hat{DAB}+hat{ADC}=180^o
->hat{A_1}+hat{D_1}=90^o
->hat{AFD}=90^o hay hat{EFG}=90^o
Chứng minh tương tự : hat{FEH}=90^o,hat{EHG}=90^o
Tứ giác EFGH có : hat{EFG}=90^o,hat{FEH}=90^o,hat{EHG}=90^o
->EFGH là hình chữ nhật
b,
Gọi V=AE∩ CD, L=CG∩ AB
hat{V_1}=hat{A_2} (Do $CD//AB$) mà hat{A_1}=hat{A_2}
->hat{A_1}=hat{V_1}
->\triangle ADV cân tại D là DF là đường phân giác
-> DF là đường trung tuyến hay F là trung điểm của AV
Chứng minh tương tự H là trung điểm của CL
EFGH là hình chữ nhật -> $EF//GH$ hay $AV//CL$
Tứ giác AVCL có : $AV//CL, CV//AL$
->AVCL là hình bình hành -> CV=AL
$CV//AL$ nên AVCL là hình thang
Hình thang AVCL có : F,H là trung điểm của AV,CL
->FH là đường trung bình
->FH=(CV+AL)/2 = CV
CV = CD-DV = CD – AD = 6 – 4 = 2cm
->FH=2cm
c,
Gọi O=EG∩ FH
EFGH là hình chữ nhật
->EG=FH, O là trung điểm của EG, FH
-> OE=OF->\triangle EOF cân tại O
->hat{E_1}=hat{F_1} mà hat{F_1}=hat{A_2}
->hat{E_1}=hat{A_2} mà hat{A_1}=hat{A_2}
->hat{E_1}=hat{A_1} -> $EG//AD$
Đặt EF=x, EH=y
->x,y > 0
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x,y ta được :
x+y \ge 2\sqrt{xy}
->(x+y)^2 \ge 4 xy
-> x^2+y^2\ge 2xy
->xy \le (x^2+y^2)/2
-> EF . EH \le (EF^2 + EH^2)/2 = (FH^2)/2=2cm
-> S_{EFGH}\le 2cm^2
Dấu “=” xảy ra khi : EF=EH
-> EFGH là hình vuông
->EG\bot EH mà $FH// CD, EG//AD$
-> CD\bot AD
-> ABCD là hình chữ nhật
Vậy ABCD là hình chữ nhật để EFGH có diện tích lớn nhất là 2cm^2